3-variété

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En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, Modèle:Lien ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes).

Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la théorie de Teichmüller, la théorie quantique des champs Modèle:Lien, les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles.

La théorie des 3-variétés fait partie de la topologie en basses dimensions, donc de la topologie géométrique.

Une idée clé de cette théorie est d'étudier une 3-variété M en considérant des surfaces particulières plongées dans M. Choisir la surface « bien placée » dans la 3-variété mène à l'idée de Modèle:Lien et à la théorie des Modèle:Lien ; la choisir telle que les morceaux du complémentaire soient le plus « agréables » possible conduit aux Modèle:Lien, utiles même dans le cas non-Haken.

Les 3-variétés possèdent souvent une structure additionnelle : l'une des huit géométries de Thurston (dont la plus courante est l'hyperbolique). L'utilisation combinée de cette géométrie et des surfaces plongées s'est révélée fructueuse.

Le groupe fondamental d'une 3-variété donne beaucoup d'informations sur sa géométrie et sa topologie, d'où l'interaction entre théorie des groupes et méthodes topologiques.

Exemples importants de 3-variétés

• Espace euclidien de dimension 3
• 3-sphère SModèle:3
• Groupe spécial orthogonal SO(3) (ou espace projectif réel RPModèle:3)
• Tore TModèle:3
• Espace hyperbolique HModèle:3
• Sphère d'homologie de Poincaré
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien

Quelques classes importantes de 3-variétés

(Ces classes ne sont pas disjointes.)

• Modèle:Lien
• Compléments de nœuds ou d'entrelacs hyperboliques (Modèle:Lien, entrelacs de Whitehead, anneaux borroméens…)
• Modèle:Lien
• 3-Sphères d'homologie
• Modèle:Lien
• Fibrés en surfaces sur le cercle, en particulier tores d'homéomorphismes du tore TModèle:2
• Fibrés en intervalles ou en cercles sur une surface
• Variétés de Seifert
• 3-variétés munies d'une structure de contact

Résultats fondamentaux

Certains de ces théorèmes ont conservé leurs noms historiques de conjectures.

Commençons par les résultats purement topologiques :

• Théorème de Modèle:Lien – Toute 3-variété possède une triangulation, unique à subdivison commune près.
  • Corollaire – Toute 3-variété compacte possède une décomposition de Heegard.
• Théorème de décomposition de Milnor
• Lemme de finitude de Kneser-Haken
• Théorèmes de la boucle et de la sphère de Papakyriakopoulos
• Théorèmes de la couronne et du tore
• Modèle:Lien de Jaco-Shalen et Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Théorèmes de rigidité topologique de Modèle:Lien

Des théorèmes où la géométrie joue un rôle important dans la preuve :

• Conjecture de Modèle:Lien, selon laquelle pour tout difféomorphisme de SModèle:3 d'ordre fini, le cercle des points fixes est non noué.
• Modèle:Lien

Des résultats qui relient explicitement géométrie et topologie :

• Théorème de Thurston de Modèle:Lien
• Théorème de Modèle:Lien-Thurston, selon lequel l'ordre, sur l'ensemble des volumes finis de 3-variétés hyperboliques, est de type ${\omega }^{\omega }$
• Conjecture de géométrisation de Thurston
• Conjecture de Poincaré
• Modèle:Lien, ou théorème des bouts géométriquement sages
• Modèle:Lien

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• Topologie arithmétique

Modèle:Portail