Ordre moyen d'une fonction arithmétique

En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique Modèle:Mvar est une fonction «simple» Modèle:Mvar approchant Modèle:Mvar en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de Modèle:Mvar est une fonction Modèle:Mvar réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :

$\sum _{n⩽N}f(n)\sim N\to +\mathrm{\infty }\sum _{n⩽N}g(n)$

Autrement dit, les moyennes arithmétiques ou moyennes de Cesàro de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entre 1 et Modèle:Mvar, ou encore valeurs moyennes de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction Modèle:Mvar n'est bien entendu pas unique.

Il ne faut pas confondre un équivalent asymptotique de la valeur moyenne $\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}f(n)$ avec un ordre moyen.

Par exemple, pour $f(n):=n$, un équivalent asymptotique de la valeur moyenne, égale à $(N+1)/2$, est $N/2$, mais la fonction $g(n):=n/2$ n’est pas un ordre moyen de $f$.

Par contre, pour $f(n):=\ln n$, un équivalent de la valeur moyenne, égale à $\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}f(n)=\frac{\ln N!}{N}$, est $\ln N$.

Dans le cas particulier où la limite $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n⩽N}f(n)=c$$

existe, on dit que $f$ possède la valeur moyenne $c$. Si de plus $c=0$, la fonction $g(n):=c$ est un ordre moyen de $f$.

Exemples

"Courbe" de la somme des diviseurs Modèle:Math, avec l'ordre moyen $n{\pi }^2/6$ en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

• Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de Modèle:Mvar est 2Modèle:Mvar/3
• Un ordre moyen de Modèle:Math, nombre de diviseurs de Modèle:Mvar, est Modèle:Math
• Un ordre moyen de Modèle:Math, somme des diviseurs de Modèle:Mvar, est $\frac{{\pi }^2}{6}n$
• Un ordre moyen de Modèle:Math, indicatrice d'Euler de Modèle:Mvar, est $\frac{6}{{\pi }^2}n$
• Un ordre moyen de [[Fonction additive (arithmétique)|Modèle:Math]], nombre de facteurs premiers distincts de n, est Modèle:Math
• Un ordre moyen de [[Fonction additive (arithmétique)|Modèle:Math]], nombre de facteurs premiers de Modèle:Mvar, est Modèle:Math
• Un ordre moyen de Modèle:Math, nombre de façon d'exprimer Modèle:Mvar comme somme de deux carrés, est Modèle:MathPi.
• Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt Modèle:Math a pour ordre moyen 1, et au fait que la fonction de Möbius Modèle:Math a pour valeur moyenne 0.

Meilleur ordre moyen

Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet  :

$\sum _{n⩽N}\text{d}(n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+o(N)$

($\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :

$\sum _{n⩽N}\ln n=N\ln N-N+o(N),$

on tire la relation asymptotique

$\sum _{n⩽N}(\text{d}(n)-(\ln n+2\gamma ))=o(N),$

tandis que

$\sum _{n⩽N}(\text{d}(n)-\ln n)=O(N),$

ce qui suggère que Modèle:Math est un meilleur choix d'ordre moyen pour Modèle:Math que simplement Modèle:Math (c'est un cas particulier de développement asymptotique).

Références

• Modèle:HardyWright, 6ème édition 2008, chapitres XVIII et XXII.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Article connexe

Identités liées aux sommes de diviseurs Modèle:Portail