Espace de Bergman

En analyse complexe, une branche des mathématiques, un espace de Bergman, nommé d'après Stefan Bergman, est un espace fonctionnel de fonctions holomorphes dans un domaine D du plan complexe qui ont un comportement suffisamment bon à la frontière pour qu'elles soient absolument intégrables. Plus précisément, $A^p(D)$ est l'espace des fonctions holomorphes dans D telles que la p-norme

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{D}{\int }|f(x+iy){|}^{p}dxdy)}^{1/p}<\mathrm{\infty }.$

Donc $A^p(D)$ est le sous-espace des fonctions holomorphes qui sont dans l'espace L^p(D). Les espaces de Bergman sont des espaces de Banach, ce qui est une conséquence de l'estimation, valide sur les sous-ensembles compacts K de D:

$(1)\underset{z\in K}{\sup }|f(z)|\le C_K\Vert f{\Vert }_{L^p(D)}.$

Donc la convergence d'une suite de fonctions holomorphes dans L^p(D) implique alors la convergence sur tout compact, et ainsi la fonction limite est aussi holomorphe.

Si p = 2, alors $A^p(D)$ est un espace de Hilbert à noyau reproduisant, dont le noyau est donné par le noyau de Bergman.

Références

• Modèle:EncycloMath.