Lemme de Mazur

En analyse fonctionnelle (mathématique), le lemme de Mazur — ou théorème de Mazur — assure que dans un espace vectoriel normé, toute limite faible d'une suite (xModèle:Ind)Modèle:Ind est limite forte (c'est-à-dire en norme) d'une suite combinaisons convexes des vecteurs xModèle:Ind. Cette propriété est utilisée en calcul des variations, par exemple pour démontrer le Modèle:LienModèle:,.

Énoncé

Dans un espace vectoriel normé X, soit Modèle:Math une suite convergeant faiblement vers un vecteur Modèle:Math de X, c'est-à-dire que pour toute forme linéaire continue Modèle:Math sur X,

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x).$

Alors il existe une suite Modèle:Math à valeurs dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des valeurs de la suite Modèle:Math, et même telle que pour tout entier Modèle:Math, le terme Modèle:Math soit de la forme

$y_n=\sum _{k=n}^{N_n}{\lambda }_{n,k}{x}_k\text{ avec }\sum _{k=n}^{N_n}{\lambda }_{n,k}=1\text{ et }\mathrm{\forall }k\in \{n,\dots ,N_n\},{\lambda }_{n,k}\in {ℝ}^{+},$

qui converge en norme vers Modèle:Math, c'est-à-dire telle que

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert y_n-x\Vert =0.$

Démonstration

On utilise les trois résultats suivants, valables dans tout espace vectoriel topologique localement convexe métrisable, en particulier dans un espace vectoriel normé :

1. l'adhérence de tout convexe est convexe ;
2. tout convexe fermé est faiblement fermé ;
3. tout point adhérent à une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.

Pour tout entier Modèle:Math, soit Modèle:Math l'enveloppe convexe de l'ensemble des Modèle:Math pour Modèle:Math. Son adhérence Modèle:Math est convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien que Modèle:Math contient l'adhérence faible de Modèle:Math, qui elle-même contient Modèle:Math par hypothèse. D'après le point 3, il existe donc Modèle:Math tel que Modèle:Math.