Géostatistique non linéaire
Modèle:Article principal La Modèle:Terme défini est la branche de la géostatistique qui étudie les combinaisons non linéaires de la fonction aléatoire étudiée.
Elle regroupe les méthodes d'espérance conditionnelle, du krigeage disjonctif, et les simulations conditionnelles.
En effet, la géostatistique linéaire, notamment le krigeage, fournit l'espérance et l'écart-type conditionnels de la distribution de la fonction aléatoire étudiée connaissant les données, mais pas la distribution elle-même (par exemple les quantiles).
Anamorphose gaussienne
L'Modèle:Terme défini est la transformation bijective de la fonction aléatoire étudiée Modèle:Formule en une fonction aléatoire de distribution gaussienne Modèle:Formule, étape préalable à la plupart des méthodes non linéaires.
Une méthode utilise les polynômes d'Hermite : Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait On réalise une approximation à l'ordre Modèle:Formule en sélectionnant les termes associés aux coefficients Modèle:Formule. On peut vérifier : Modèle:Retrait La fonction Modèle:Formule est strictement croissante sur un intervalle dit intervalle pratique Modèle:Formule, donc elle y est bijective. On peut prolonger la bijection hors de cet intervalle par interpolation linéaire.
Espérance conditionnelle
L'espérance conditionnelle de dépasser un seuil Modèle:Formule est représentée par l'estimateur : Modèle:Retrait où Modèle:Formule est la fonction indicatrice.
Elle n'est calculable que si la fonction aléatoire est multigaussienne ; l'espérance conditionnelle suit alors une distribution gaussienne de moyenne le krigeage simple de Modèle:Formule noté Modèle:Formule et de variance la variance de krigeage simple de Modèle:Formule notée Modèle:Formule.
La procédure est donc de réaliser l'anamorphose de la variable étudiée Modèle:Formule en une variable Modèle:Formule gaussienne, l'analyse variographique puis le krigeage de Modèle:Formule, enfin de considérer : Modèle:Retrait
De même, un intervalle de confiance peut être construit par : Modèle:Retrait Par exemple, pour un intervalle de confiance à 95%, soit Modèle:Formule Modèle:Retrait
Simulations conditionnelles
La technique suppose de réaliser l'anamorphose gaussienne de Modèle:Formule en Modèle:Formule, puis à réaliser un grand nombre de simulations afin d'en étudier les statistiques. Plusieurs méthodes de simulation non conditionnelle de fonction aléatoire de loi spatiale multigaussienne sont possibles : décomposition matricielle, moyennes mobiles discrètes, méthodes spectrales, bandes tournantes, méthode séquentielle, … Le conditionnement s'effectue ensuite simplement par krigeage.
La méthode des Modèle:Terme défini revient à :
- tirer uniformément un nombre déterminé de directions Modèle:Formule de l'espace ;
- effectuer une simulation le long de chaque droite de direction Modèle:Formule selon une covariance Modèle:Formule, découlant de la covariance Modèle:Formule du problème ;
- remplir tout l'espace à partir de ces valeurs.