Fonction totient de Jordan

En théorie des nombres, la Modèle:Math-ième fonction totient de Jordan Modèle:Math — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout [[Entier naturel|entier Modèle:Math]] associe le nombre de [[n-uplet|Modèle:Math-uplets]] d'entiers compris entre 1 et Modèle:Math qui, joints à Modèle:Math, forment un Modèle:Math-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est Modèle:Math.

Calcul

La fonction Modèle:Math est multiplicative et vaut

$J_k(n)=n^k\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p^k}),$

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers Modèle:Math de Modèle:Math.

On peut définir plus généralement Modèle:Math pour tout réel Modèle:Math non nul et même pour « presque » tout complexe Modèle:Math, par la même formule.

Propriétés

La formule

$\sum _{d|n}{J}_k(d)=n^k$

se réécrit en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante Modèle:Math et de la fonction puissance Modèle:Math

$J_k*\mathrm{𝟏}={\mathrm{I}\mathrm{d}}_k$

ou encore, par inversion de Möbius

$J_k=\mu *{\mathrm{I}\mathrm{d}}_k$

ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour Modèle:Math.

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or Modèle:Math et l'inverse Modèle:Math de Modèle:Math sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de Modèle:Math à tout nombre complexe Modèle:Math : par exemple Modèle:Refsou.

Fonction totient et séries de Dirichlet

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius Modèle:Math est Modèle:Math et celle de Modèle:Math est Modèle:Math, on en déduit celle de Modèle:Math :

$\sum _{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s-k)}{\zeta (s)}.$

Un ordre moyen de Modèle:Math est $\frac{n^k}{\zeta (k+1)}.$

La Modèle:Lien est

$\psi (n)=n\prod _{p|n}(1+\frac{1}{p})=\frac{J_2(n)}{J_1(n)}.$

Ses généralisations, les fonctions multiplicatives Modèle:Math et Modèle:Math, sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer :

$\sum _{\delta \mid n}{\delta }^s{J}_r(\delta )J_s\left(\frac{n}{\delta }\right)=J_{r+s}(n).$

Ordres de groupes de matrices

L'ordre du groupe linéaire Modèle:Math est

$|\mathrm{G}\mathrm{L}(m,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^m{J}_k(n).$

Celui du groupe spécial linéaire Modèle:Math est

$|\mathrm{S}\mathrm{L}(m,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^m{J}_k(n).$

Celui du groupe symplectique Modèle:Math est

$|\mathrm{S}\mathrm{p}(2m,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|=n^{m^2}\prod _{k=1}^m{J}_{2k}(n).$

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

Exemples

L'OEIS donne des listes explicites pour Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) et Modèle:Math à Modèle:Math (Modèle:OEIS2C à Modèle:OEIS2C).

Des quotients par Modèle:Math sont Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) et Modèle:Math (Modèle:OEIS2C).

Des exemples de quotients Modèle:Math sont Modèle:Math (Modèle:OEIS2C), Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) et Modèle:Math (Modèle:OEIS2C).

Notes et références

• Modèle:Dickson1, vol. I, 1971, Chelsea Publishing Modèle:ISBN, p. 147
• Modèle:Ouvrage