Intégration des fonctions réciproques

L'intégration de la fonction réciproque Modèle:Math Modèle:-1 d'une bijection Modèle:Math peut être effectuée au moyen d'une formule mathématique mettant seulement en jeu la bijection réciproque Modèle:Math Modèle:-1 et une primitive de Modèle:Math.

Énoncé du théorème

Soit Modèle:Math et Modèle:Math deux intervalles de [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]]. Supposons que Modèle:Math est une bijection continue et soit Modèle:Math sa bijection réciproque (on démontre que [[Théorème de la bijection|Modèle:Math Modèle:-1 est également continue]], donc [[Premier théorème fondamental de l'analyse|Modèle:Math et Modèle:Math Modèle:-1 admettent des primitives]]). Si Modèle:Math désigne une primitive de Modèle:Math, les primitives de Modèle:Math Modèle:-1 sont de la forme

$\int f^{-1}(y)\mathrm{d}y=y{f}^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))+C^{te}.$

Preuve sans mots du théorème

Preuves

• Si Modèle:Math Modèle:-1 est supposée dérivable, le théorème ci-dessus s'ensuit immédiatement par dérivationModèle:, (première méthode).
• Si Modèle:Math est supposée dérivable, le théorème s'obtient par changement de variable (en posant Modèle:Math), suivi d'une intégration par parties.

Ces deux cas particuliers du théorème sont en fait équivalents puisque (Modèle:Cf. ci-dessous) son énoncé peut se reformuler de façon symétrique en Modèle:Math et Modèle:Math Modèle:-1. La première méthode s'adapte au cas où Modèle:Math Modèle:-1 est seulement absolument continue. La seconde s'adapte au cas général : il suffit de raisonner sur des intégrales de Stieltjes.

• Si Modèle:Math et Modèle:Math, le théorème se réécrit :$\underset{c}{\overset{d}{\int }}{f}^{-1}(y)\mathrm{d}y+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=bd-ac.$La figure ci-contreModèle:,Modèle:, est une preuve sans mots de cette formule (proche sous cette forme de l'inégalité de Young), que l'on peut expliciter en termes d'intégrales de Riemann-DarbouxModèle:,.
• Modèle:Refsou qu'en tout point Modèle:Math de Modèle:Math, le nombre dérivé de la fonction Modèle:Math est bien égal à Modèle:Math, c'est-à-dire que$\mathrm{\forall }x\in I_1\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h)f(x+h)-xf(x)-(F(x+h)-F(x))}{f(x+h)-f(x)}=x.$Il suffit pour cela d'appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction Modèle:Math entre Modèle:Math et Modèle:Math, puis de se souvenir que [[Théorème de la bijection#Réciproques du théorème|Modèle:Math est monotone]].

Exemples

1. Supposons que $f(x)=\exp (x)$, donc $f^{-1}(y)=\ln (y)$. La formule ci-dessus implique immédiatementModèle:Retrait
2. De même, avec $f(x)=\cos (x)$ et $f^{-1}(y)=\arccos (y)$, il vientModèle:Retrait
3. Avec $f(x)=\tan (x)$ et $f^{-1}(y)=\arctan (y)$, il vientModèle:Retrait

Historique

Ce théorème d'intégration, accompagné de sa justification géométrique en termes d'aire, et d'une démonstration supposant Modèle:Math Modèle:-1 dérivable, fut publié en 1905 par Charles-Ange Laisant, qui la jugeait Modèle:Citation, mais cherchait à la répandre dans l'enseignement. Le résultat fut publié indépendamment en 1912 par un ingénieur italien, Alberto Caprilli.

Le théorème a été traité dans des publications destinées à l'enseignement. En 1955, F. D. Parker souligne son intérêt pour les premières années universitaires et en donne plusieurs applications. Dans son Modèle:Lang de 1967, Michael Spivak propose en exercice les trois premières preuves ci-dessus, en détaillant la troisième (par les sommes de Darboux), qui traite le cas général. Dans un article de 1994, Eric Key rédige cette démonstration, qui souligne l'adéquation dans ce cas de la définition formelle de l'intégrale à l'intuition géométrique donnée par l'aire et insiste sur l'intérêt du théorème en s'appuyant sur Parker.

Analogue pour les fonctions holomorphes

Pour les fonctions holomorphes, on démontre la même formule par la première des preuves ci-dessus (transcrite en termes de différentiation complexe) :

Soient U et V deux ouverts simplement connexes du plan complexe. Supposons que Modèle:Math est un biholomorphisme, c'est-à-dire une bijection holomorphe dont la réciproque est holomorphe (Modèle:Math et Modèle:Math Modèle:-1 admettent donc des primitives). Si Modèle:Math désigne une primitive de Modèle:Math, les primitives de Modèle:Math Modèle:-1 sont de la forme

$G(z)=z{f}^{-1}(z)-F(f^{-1}(z))+C^{te}.$

Notes et références

• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article