Identité de Brahmagupta

En mathématiques, lModèle:'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au Modèle:S- après J.C., en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé « méthode chakravala », dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) , ou « identité de Fibonacci » montre que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Plus précisément :

$\mathrm{\forall }a,b,c,d\in A(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$,

où A désigne un anneau commutatif.

L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

$(a^2-n{b}^2)(c^2-n{d}^2)=(ac+nbd{)}^2-n{(ad+bc)}^2.$

Elle se déduit de celle de Diophante en multipliant $b$ et $d$ par $\sqrt{-n}$ (c.-à-d. par $e$, dans l'anneau quotient générique $\mathbb{Z}[a,b,c,d,n,e]/(e^2+n)$). Inversement, l'identité de Diophante est le cas particulier $n=-1$ de celle de Brahmagupta.

On obtient des formes équivalentes de ces deux identités en remplaçant $b$ par son opposé :

$\begin{array}{cc}(a^2+b^2)(c^2+d^2)& =(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2,\\ (a^2-n{b}^2)(c^2-n{d}^2)& =(ac-nbd{)}^2-n(ad-bc{)}^2.\end{array}$

Remarques

• L'identité de Brahmagupta exprime la multiplicativité de la norme relative à une extension quadratique.
• Un cas particulier est la multiplicativité du module d'un nombre complexe : si u = a + ib et v = c + id avec a, b, c, d réels, l'identité de Diophante exprime que |u|Modèle:2 |v|Modèle:2 = |uv|Modèle:2.
• Posant dans l'espace euclidien ${ℝ}^2$ $u=(a,b),v=(d,c)$, l'identité de Diophante exprime que $\Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2=(\det (u,v){)}^2+(u.v{)}^2$.
• L'identité des quatre carrés d'Euler peut être vue comme une généralisation, utilisant la norme des quaternions.
• Il existe une identité similaire en huit carrés, dérivée des nombres de Cayley et liée à la Modèle:Lien.