Fonction de Bickley-Naylor

La fonction de Bickley-Naylor est une fonction de type exponentielle intégrale utilisée dans les problèmes de transfert radiatif utilisant une transformation de Laplace. Elle a été introduite par William G. Bickley et V. D. Naylor.

Définition

Fonction Ki₁ de Bickley-Naylor.

La fonction de Bickley-Naylor d'ordre n est définie par

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{\sin \theta }}{\sin }^{n-1}\theta \mathrm{d}\theta$

Cette fonction est reliée à la Modèle:Lien associée à la transformation de Mellin.

Définitions alternatives

Les formes suivantes donnent la même fonction :

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{\cos \theta }}{\cos }^{n-1}\theta \mathrm{d}\theta$

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x\cosh t}}{{\cosh }^{n-1}t}\mathrm{d}t$

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{t^n\sqrt{t^2-1}}\mathrm{d}t$

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-t{)}^{n-1}{K}_0(t)\mathrm{d}t$

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\frac{x^n}{(n-1)!}\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-1{)}^{n-1}{K}_0(xt)\mathrm{d}t$

Dans les deux dernières définitions, Modèle:Math désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0. On en déduit que Modèle:Math.

Développement en série

On connait le développement en série entière des deux premières fonctions de Bickley-Naylor :

${\mathrm{Ki}}_1(x)=\frac{\pi }{2}+x(\gamma +\ln \left(\frac{x}{2}\right))\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x^2/4{)}^k}{(k!{)}^2(2k+1)}-x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x^2/4{)}^k}{(k!{)}^2(2k+1{)}^2}-x\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x^2/4{)}^k{H}_k}{(k!{)}^2(2k+1)}$

${\mathrm{Ki}}_2(x)=1-\frac{\pi }{2}x-\frac{x^2}{2}(\gamma +\ln \left(\frac{x}{2}\right))\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x^2/4{)}^k}{k!(k+1)!(2k+1)}+\frac{x^2}{4}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k+3)(x^2/4{)}^k}{k!(k+1)!(2k+1{)}^2}+\frac{x^2}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x^2/4{)}^k{H}_k}{k!(k+1)!(2k+1)}$

avec Modèle:Mvar est la constante d'Euler-Mascheroni et Modèle:Mvar est le kModèle:E nombre harmonique.

Relations de récurrence

Récurrence

Les fonctions de Bickley-Naylor vérifient la relation de récurrence:

$n{\mathrm{Ki}}_{n+1}(x)=(n-1){\mathrm{Ki}}_{n-1}(x)-x{\mathrm{Ki}}_n(x)+x{\mathrm{Ki}}_{n-2}(x),n\ge 2$

avec ${\mathrm{Ki}}_0(x)={\mathrm{K}}_0(x)$.

Différentiation

Par dérivation, on trouve que, pour tout n :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{Ki}}_{n+1}(x)=-{\mathrm{Ki}}_n(x)$

dont on déduit

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{Ki}}_n(x)=(-1{)}^n{\mathrm{K}}_0(x)$

Développement asymptotique

Les fonctions de Bickley-Naylor ont pour développement asymptotique

${\mathrm{Ki}}_n(x)\approx \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{\mathrm{e}}^{-x}\{1-\frac{(1+4n)}{8x}+\frac{3(3+24n+16n^2)}{2!(8x{)}^2}\}$