Dimension d'Assouad

Dimension d'Assouad sur le triangle de Sierpiński. Pour R=2 et r=1 $N_r(B_R(x)\cap E)=3={\left(\frac{2}{1}\right)}^{\alpha }$, donc la dimension peut être $\frac{\log (3)}{\log (2)}$ comme la dimension Hausdorff .

En mathématiques, et plus précisément en géométrie fractale, la dimension d'Assouad est une définition de la dimension fractale pour les sous-ensembles d'un espace métrique. Il a été introduit par Patrice Assouad dans sa Thèse de doctorat en 1977 et publié plus tard en 1979. Elle a été défini plus tôt par Georges Bouligand (1928). En plus d'être utilisée pour étudier les fractales, la dimension d'Assouad a également été utilisée pour étudier les applications quasi-conformes et les problèmes de plongement.

Définition

Modèle:Quote Soit $(X,d)$ un espace métrique, et soit $E$ être un sous-ensemble non vide de $X$ . Pour $r>0$, soit $N_r(E)$ le plus petit nombre de boules ouvertes métriques de rayon inférieur ou égal à r avec lequel il est possible de recouvrir $E$. La dimension d'Assouad de $E$ est défini comme l'infinumum $\alpha \ge 0$ pour laquelle il existe des constantes positives $C$ et $\rho$ de sorte que, si

$0<r<R\le \rho ,$

on ait :

$\underset{x\in E}{\sup }{N}_r(B_R(x)\cap E)\le C{\left(\frac{R}{r}\right)}^{\alpha }.$

L'intuition sous-jacente à cette définition est que, pour un ensemble E de dimension entière "ordinaire" n, le nombre de petites boules de rayon r nécessaires pour couvrir l'intersection d'une plus grande boule de rayon R avec E sera comme (Modèle:Sfrac ) ⁿ .

Bibliographie

• Modèle:Article
• M. G. Bouligand, « Ensembles impropres et nombre dimensionnel », Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 52, 1928, Modèle:P.