Triangle cévien

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Le triangle PModèle:IndPModèle:IndPModèle:Ind (en rouge) est le triangle cévien de P pour le triangle ABC.

En géométrie, dans un triangle, le triangle cévien ou triangle pédalModèle:, d'un point est le triangle formé par les intersections des céviennes passant par ce point et les côtés du triangle de référence.

Définition

Dans un triangle ABC, on considère un point P, non situé sur les côtés du triangle. Les droites (PA) et (BC) se croisent en PModèle:Ind, les droites (PB) et (AC) se croisent en PModèle:Ind, et les droites (PC) et (AB) se croisent en PModèle:Ind. Alors le triangle PModèle:IndPModèle:IndPModèle:Ind est appelé triangle cévien de P pour le triangle ABC. Le cercle circonscrit au triangle cévien de P est le cercle cévien.

Il ne doit pas être confondu avec le triangle podaire qui est le triangle formé par les projections orthogonales du point P sur les côtés, lequel est désigné en anglais par "pedal triangle".

Exemples

• le triangle cévien de l'orthocentre est le triangle orthique
• le triangle cévien du centre de gravité est le triangle médian
• le triangle cévien du point de Gergonne est le triangle de contact (points où le cercle inscrit touche les côtés du triangle)

Propriétés

• Les points PModèle:Ind,PModèle:Ind,PModèle:Ind, vérifient la relation de Ceva : $\frac{\overline{P_{A}B}}{\overline{P_{A}C}}\frac{\overline{P_{B}C}}{\overline{P_{B}A}}\frac{\overline{P_{C}A}}{\overline{P_{C}B}}=-1$.
• Le point P a pour coordonnées barycentriques dans $(A,B,C)$ : $(-\frac{\overline{P_{B}C}}{\overline{P_{B}A}}:-\frac{\overline{P_{A}C}}{\overline{P_{A}B}}:1)$.
• Un triangle et le triangle cévien du point P pour ce triangle sont en homologie par rapport à P. Par le théorème de Desargues, il existe également une droite (l'axe de l'homologie) par rapport à laquelle les deux triangles sont en homologie ; par exemple, dans le cas où P est à l'orthocentre, il s'agit de l'axe orthique.

• L'aire du triangle cévien du point P de coordonnées trilinéaires (α : β : γ) est donnée par :

${𝒜}_{cevian}=\frac{2abc|\alpha \beta \gamma |}{|(\alpha a+\beta b)(\beta b+\gamma c)(\gamma c+\alpha a)|}{𝒜}_{ABC}$

• Les symétriques des sommets d'un triangle cévien par rapport aux milieux des côtés forment un autre triangle cévien : si on trace PModèle:IndModèle:', le symétrique de PModèle:Ind par rapport au milieu de BC, et qu'on construit de même PModèle:IndModèle:' et PModèle:IndModèle:', alors il existe un point PModèle:' tel que PModèle:IndModèle:'PModèle:IndModèle:'PModèle:IndModèle:' soit le triangle cévien de PModèle:' pour le triangle ABC.

Le point PModèle:' est alors appelé conjugué isotomique de P.

• Le cercle cévien d'un point P intersecte AB en PModèle:Ind et PModèle:Ind", BC en PModèle:Ind et PModèle:Ind", et AC en PModèle:Ind et PModèle:Ind". Alors il existe P" tel que PModèle:Ind"PModèle:Ind"PModèle:Ind" soit le triangle cévien de P" pour le triangle ABC.

Le point P" est alors appelé conjugué cyclocévien de P.

• 
  Les symétriques des sommets d'un triangle cévien dans un triangle par rapport aux milieux des côtés forment un autre triangle cévien (en bleu).
• Le cercle circonscrit d'un triangle cévien à un triangle forme un autre triangle cévien dans le même triangle (en vert).
  Le cercle circonscrit d'un triangle cévien à un triangle forme un autre triangle cévien dans le même triangle (en vert).

Voir aussi

• Droite centrale