Triplet de Gelfand

En analyse fonctionnelle, le triplet de Gelfand (aussi triplet de Banach-Gelfand ou triade hilbertienne ou Modèle:Lang) est un espace-triplet $(V,H,V^{*})$ consistant en un espace de Hilbert $H$, un espace de Banach (ou plus généralement un espace vectoriel topologique) $V$ et son dual topologique $V^{*}$. L'espace $V$ est choisi tel que $V$ soit un sous-espace dense dans $H$ et que son inclusion soit continue. Cette construction a l'avantage que les éléments de $H$ peuvent être exprimés comme des éléments de l'espace dual $V^{*}$ en utilisant le théorème de représentation de Fréchet-Riesz.

Le triplet de Gelfand porte le nom de Israel Gelfand.

Definition

Soit $(H,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_H)$ un espace de Hilbert séparable et $V\subset H$ un espace de Banach réflexif et dense dans $H$ avec une inclusion $i_1:V\hookrightarrow H$ continue. Soient $H^{*}$ et $V^{*}$ les espaces duals correspondants. La séparabilité de $H$ garantit l'existence d'un sous-espace dense dans $H$.

Il découle de ces propriétés que l'inclusion dense suivante est vérifiée

$V\subset H\subset V^{*},$

où $H$ est identifié à $H^{*}$. $H$ est appelé l'espace pivot.

Alors pour tout $h\in H,v\in V$, on a :

$⟨h,v{⟩}_H={}_{V^{*}}⟨h,v{⟩}_V,$

où le côté droit désigne le crochet de dualité.

Le triplet $(V,H,V^{*})$ est appelé triplet de Gelfand.

Dérivation de l'inclusion

On peut montrer que $H^{*}\subset V^{*}$ est également dense et que l'inclusion $i_2:H^{*}\hookrightarrow V^{*}$ est continue. Pour un $\phi \in H^{*}$ et $x\in H$, on définit la paire duale

${}_{H^{*}}⟨\phi ,x{⟩}_H:=\phi (x).$

Pour chaque $\phi \in H^{*}$ il existe une représentation de Riesz unique $h_{\phi }\in H$ telle que

${}_{H^{*}}⟨\phi ,x{⟩}_H=⟨x,h_{\phi }{⟩}_H$

pour tout $x\in H$. On peut donc identifier $H\cong H^{*}$ et donc l'inclusion suit

$V\subset H\subset V^{*},$

et l’inclusion $i_3:H\hookrightarrow V^{*}$ est continue.

Cas général

Dans le cas général, $V$ n'est pas un espace de Banach mais seulement un espace vectoriel topologique. Le triplet $(V,H,V^{*})$ est aussi appelé triplet de Gelfand et $H^{*}\subset V^{*}$ est également dense et l'inclusion $i_2:H^{*}\hookrightarrow V^{*}$ est continue.

Exemples

• Soient $L^2({ℝ}^n)$ l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur ${ℝ}^n$ (qui est un cas particulier d’[[espace Lp|espace Modèle:Math]]), $𝒮({ℝ}^n)$ l'espace de Schwartz et ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ l'espace de distributions tempérées. Alors le triplet $(𝒮,L^2,{𝒮}^{\prime })$ est un triplet de Gelfand.
• Soient ${\ell }^1,{\ell }^2,{\ell }^{\mathrm{\infty }}$les espaces de suites classiques. Alors le triplet $({\ell }^1,{\ell }^2,{\ell }^{\mathrm{\infty }})$ est un triplet de Gelfand.