Bicatégorie

En mathématiques, les bicatégories (aussi appelées 2-catégories faibles) sont une généralisation des catégories utilisées pour traiter les cas où la composition des morphismes n'est pas (strictement) associative, mais uniquement associative à isomorphisme près. Cette notion est introduite en 1967 par Jean Bénabou.

Les bicatégories peuvent être considérées comme un affaiblissement des 2-catégories. De manière similaire on obtient, par affaiblissement des 3-catégories, les tricatégories, et plus généralement, on peut obtenir les n-catégories faibles en affaiblissant les n -catégories.

Définition

Formellement, une bicatégorie $𝐁$ se compose de :

• objets, souvent notés $a,b...$, appelées 0-cellules ;
• morphismes, souvent notés $f,g...$, ayant chacun des objets source et cible fixes, appelés 1-cellules ;
• "morphismes entre morphismes", souvent notés $\rho ,\sigma ...$, ayant chaucun des morphismes source et cible fixes (qui doivent eux-mêmes avoir la même source et la même cible), appelés 2-cellules;

avec un peu plus de structure :

• étant donné deux objets $a$ et $b$, il existe une catégorie $𝐁(a,b)$ dont les objets sont les 1-cellules et les morphismes les 2-cellules. La composition de cette catégorie est appelée composition verticale;
• étant donné trois objets $a,b,c$, il existe un bifoncteur $*:𝐁(b,c)\times 𝐁(a,b)\to 𝐁(a,c)$ appelée composition horizontale.

La composition horizontale doit être associative à isomorphisme naturel près, i.e si $f,g,h$ sont des morphismes, alors il existe un isomorphisme naturel $\alpha$ tel que $h*(g*f)=\alpha ((h*g)*f)$. Certains axiomes de cohérence supplémentaires, similaires à ceux nécessaires pour les catégories monoïdales, doivent en outre être vérifiés : une catégorie monoïdale est en fait une bicatégorie contenant une unique 0-cellule.

Exemple de la catégorie monoïdale booléenne

Soit une catégorie monoïdale simple, telle que le préordre monoïdal $𝐁𝐨𝐨𝐥$ basé sur le monoïde $M=(\{V,F\},\wedge ,V)$ par exemple. En tant que catégorie, elle a deux objets $V,F$ (Vrai et Faux) et un seul morphisme $g:F\to V$.

Nous pouvons réinterpréter ce monoïde comme une bicatégorie ayant un seul objet $x$ (une 0-cellule) ; cette construction est analogue à la construction d'une catégorie à partir d'un monoïde. Les objets $V,F$ deviennent des morphismes, et le morphisme $g$ devient une transformation naturelle (formant une catégorie fonctrice pour la seule hom-catégorie $𝐁(x,x)$).

Références

• J. Bénabou. "Introduction to bicategories, part I". Dans Reports of the Midwest Category Seminar, Notes de cours en mathématiques 47, pages 1 à 77. Springer, 1967.