Distribution q-Weibull

En statistique, la distribution q-Weibull est une distribution de probabilité qui généralise la distribution de Weibull et la Modèle:Lien (ou loi de Pareto type II). C'est un exemple de distribution de Tsallis.

Caractéristiques

Fonction de densité de probabilité

La densité de probabilité d'une variable aléatoire de type q-Weibull est :

$f(x;q,\lambda ,\kappa )=\{\begin{array}{cc}(2-q)\frac{\kappa }{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{\kappa -1}{e}_q(-(x/\lambda {)}^{\kappa })& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

où $q<2$ et $\kappa <0$ sont les paramètres de forme et $\lambda >0$ est le paramètre d'échelle de la distribution. $e_q$ est la q-exponentielleModèle:,Modèle:, :

$e_q(x)=\{\begin{array}{cc}\exp (x)& \text{si }q=1\\ [1+(1-q)x{]}^{1/(1-q)}& \text{si }q\ne 1\text{ et }1+(1-q)x>0\\ 0^{1/(1-q)}& \text{si }q\ne 1\text{ et }1+(1-q)x\le 0\end{array}$

Fonction de distribution

La fonction de distribution d'une variable aléatoire de type q-Weibull est :

$\{\begin{array}{cc}1-e_{q^{\prime }}^{-(x/{\lambda }^{\prime }{)}^{\kappa }}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

où

${\lambda }^{\prime }=\frac{\lambda }{(2-q{)}^{\frac{1}{\kappa }}}$

$q^{\prime }=\frac{1}{(2-q)}$

Espérance mathématique

La moyenne de la distribution q-Weibull est, en notant $B(\cdot )$ la fonction bêta et $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ la fonction gamma :

$\mu (q,\kappa ,\lambda )=\{\begin{array}{cc}\lambda (2+\frac{1}{1-q}+\frac{1}{\kappa })(1-q{)}^{-\frac{1}{\kappa }}B[1+\frac{1}{\kappa },2+\frac{1}{1-q}]& q<1\\ \lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{\kappa })& q=1\\ \lambda (2-q)(q-1{)}^{-\frac{1+\kappa }{\kappa }}B[1+\frac{1}{\kappa },-(1+\frac{1}{q-1}+\frac{1}{\kappa })]& 1<q<1+\frac{1+2\kappa }{1+\kappa }\\ \mathrm{\infty }& 1+\frac{\kappa }{\kappa +1}\le q<2\end{array}$

L'expression de la moyenne est une fonction continue de $q$.

Relation avec d'autres distributions

La distribution q-Weibull est équivalente à la distribution de Weibull lorsque $q=1$ et équivalente à la distribution q-exponentielle lorsque $\kappa =1$.

La distribution q-Weibull est une généralisation de la distribution de Weibull, car elle étend cette distribution aux cas de support fini ($q<1$) et permet d'inclure les distributions à longue traîne $(q\ge 1+\frac{\kappa }{\kappa +1})$.

La distribution q-Weibull est une généralisation de la Modèle:Lien (ou loi de Pareto type II) car elle étend cette distribution aux cas de support fini et ajoute le paramètre $\kappa$. Les paramètres de Lomax sont :

$\alpha =\frac{2-q}{q-1},{\lambda }_{\text{Lomax}}=\frac{1}{\lambda (q-1)}$

Comme la distribution de Lomax est une version décalée de la distribution de Pareto, la distribution q-Weibull pour $\kappa =1$ est une généralisation décalée et reparamétrée de la loi de Pareto. Lorsque $q>1$ la distribution q-Weibull est équivalente à la loi de Pareto décalée pour avoir un support commençant à zéro :

$\text{Si }X\sim 𝑞\mathrm{-}\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}(q,\lambda ,\kappa =1)\text{ et }Y\sim [\mathrm{Pareto}(x_m=\frac{1}{\lambda (q-1)},\alpha =\frac{2-q}{q-1})-x_m],\text{ alors }X\sim Y$

Articles connexes

• Entropie de Tsallis
• Distribution de Tsallis
• Distribution q-exponentielle
• Distribution q-gaussienne
• Modèle:Lien