Distribution de Tsallis

En statistique une distribution de Tsallis est une distribution de probabilité dérivée de la maximisation de l'entropie de Tsallis sous diverses contraintes.

Définition du système

Soit un système défini par un ensemble discret de probabilités $p_i$ d'états d'énergie $E_i$ normalisé :

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{p}_j=1$

où $\mathrm{\Omega }$ le nombre d'états possibles du système.

L'entropie de Tsallis est définie par :

$S_q(p_i)=\frac{k}{q-1}(1-\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{p}_j^q)=-k\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{p}_j{\log }_{2-q}{p}_j$

où $q$ est un paramètre parfois appelé indice entropique et $k$ une constante positive. Le q-logarithme ${\log }_q(\cdot )$ est défini par :

${\log }_q(x)=\frac{x^{1-q}-1}{1-q}$

Dans le cas particulier où les états sont équiprobables :

$S_q=k{\log }_q\mathrm{\Omega }$

On définit la population parenteModèle:, $p_j^{(q)}$ et l'énergie moyenne $E_q$ liée à celle-ci par :

$p_j^{(q)}=\frac{p_j^q}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{p}_j^q},E_q=\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{p}_j^{(q)}{E}_j$

La méthode des multiplicateurs de Lagrange pour le calcul de l'extremum de l'entropie est utilisée pour la recherche de la solution du problème contraint par la donnée de $E_q$

$\max \{S_q(p_i)+\beta E_q\}$

ce qui conduit à la solution :

$p_i=\frac{e_q(-{\beta }_q(E_i-E_q))}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{e}_q(-{\beta }_q(E_j-E_q))},{\beta }_q=\frac{\beta }{\sum _{j=1}^{\mathrm{\Omega }}{p}_j^q}$

où $e_q(\cdot )$ est la q-exponentielle et $\beta$ est le multiplicateur de Lagrange .

Solutions

Il existe plusieurs familles différentes de ces distributionsModèle:,Modèle:, :

• si on impose le premier moment (comme ci-dessus) on obtient la distribution q-exponentielle, q-analogue de la distribution exponentielle, obtenue pour $q=1$.
• si on impose de plus le second moment on obtient la distribution q-gaussienne, q-analogue de la gaussienne, obtenue lorsque $q=1$.

Autre approche

Les distributions de Tsallis peuvent être obtenues en applicant la transformation de Box-Cox inverse avec $\lambda =1-q$ aux distributions usuelles exponentielle ou gaussienne.

Applications

Les distributions de Tsallis ont été appliquées à des problèmes dans les domaines de la mécanique statistique, de la géologie, de l'anatomie, de l'astronomie, de la physique atomique, de l'économie, de la finance et de l'apprentissage automatique. Elles sont souvent utilisées pour leur longue traîne.