Nombre hexagonal centré

Modèle:ConfusionEn mathématiques, un nombre hexagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un hexagone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés en couches hexagonales concentriques de Modèle:Math points, Modèle:Math points, Modèle:Math points, etc.

La formule générale pour le n-ième nombre hexagonal centré, lorsqu'il y a Modèle:Mvar points sur chaque côté de la dernière couche est :

$C_{6,n}=3n^2-3n+1=n^3-(n-1{)}^3$

Représentation du 4-ième nombre hexagonal centré

Gnomon, relation de récurrence

Les quatre premiers nombres hexagonaux centrés sont : Modèle:Retrait Pour tout entier $n⩾1$, le Modèle:Mvar-ième hexagone centré a un point central et Modèle:Math couches hexagonales régulières. Ainsi, il comporte Modèle:Mvar points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tout entier $n⩾2$, la dernière couche du Modèle:Mvar-ième hexagone centré comporte Modèle:Math points ; c'est le gnomon faisant passer du Modèle:Math-ième hexagone centré au Modèle:Mvar-ième :

$\mathrm{\forall }n⩾2,C_{6,n}=C_{6,n-1}+6(n-1).$

Le Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré s'obtient donc en ajoutant Modèle:Math au produit par Modèle:Math du Modèle:Math-ième nombre triangulaire :

$C_{6,n}=1+6T_{n-1}=1+3n(n-1)=3n^2-3n+1.$

Pour Modèle:Math, cette expression est valable également car Modèle:Math.

Erreur lors de la création de la vignette :

Représentation à la fois du 5-ième nombre hexagonal centré et des six 4-ièmes nombres triangulaires autour de son centre.

Exemple

Le 5-ième nombre hexagonal centré est Modèle:Math plus Modèle:Math fois le 4-ième nombre triangulaire : Modèle:Retrait Modèle:Clr

Applications pratiques

Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.

Liste des nombres hexagonaux centrés, propriété de congruence

Les nombres hexagonaux centrés inférieurs à Modèle:Math sont :

Modèle:Math (voir la Modèle:OEIS).

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit le motif palindromique Modèle:Math.

Les nombres hexagonaux centrés, tous impairs, sont congrus à 1 modulo 6.

Les nombres hexagonaux centrés comme différences de cubes consécutifs, et applications

Démonstrations de la formule

Pour tout entier $n⩾1$,

$C_{6,n}=3n^2-3n+1=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=n^3-(n-1{)}^3.$

Fichier:Hex number 37 with cube.svg

4-ième nombre hexagonal centré vu comme le gnomon de transition d'un cube de côté Modèle:Math points à un cube de côté Modèle:Math points

Cette démonstration calculatoire peut s'interpréter visuellement ; dans la figure ci-contre, le n-ième nombre hexagonal centré est vu comme le nombre de petits cubes de la couche visible d'un cube de côté Modèle:Mvar ; les cubes non visibles formant un cube de côté Modèle:Math, il y a bien $n^3-(n-1{)}^3$cubes visibles.

Ainsi, pour $n⩾1$, le Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré est le gnomon faisant passer du Modèle:Math-ième au Modèle:Mvar-ième nombre cubique (Modèle:Cad le nombre de cubes de côté Modèle:Math visibles depuis un sommet d'un cube de côté Modèle:Mvar composé de cubes de côté Modèle:Math).

Application aux sommes partielles de la série des nombres hexagonaux centrés

Modèle:Math, doncModèle:, la somme des Modèle:Mvar premiers nombres hexagonaux centrés est égale à Modèle:Math.

Exemples :

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Conséquences :

• Pour tout $n⩾1$, la moyenne arithmétique des Modèle:Mvar premiers nombres hexagonaux centrés est égale au Modèle:Mvar-ième nombre carré :

• Les nombres pyramidaux hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques, mais représentés par des formes différentes.

Application aux nombres hexagonaux centrés premiers

Les nombres à la fois hexagonaux centrés et premiers sont les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, appelés nombres premiers cubains de première espèceModèle:,. On conjecture qu'il y en a une infinité.

Les nombres hexagonaux centrés premiers inférieurs à Modèle:Math sont :

Modèle:Math

Modèle:Math

Pour les suivants, voir :

Modèle:Math

(Pour la suite des nombres premiers, voir Modèle:OEIS2C.)

Liens avec d'autres nombres figurés

Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont aussi des nombres triangulaires ou des nombres carrés, ou tout cela à la fois, il suffit de résoudre les équations de Pell-Fermat associées.

Nombre hexagonal centré triangulaire

$C_{6,n}=T_m⟺(2m+1{)}^2-6(2n-1{)}^2=3.$

Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et triangulaires sont alors :

Modèle:Math

Pour les suivants, voir :

Modèle:Math

(Pour la suite des nombres triangulaires, voir Modèle:OEIS2C.)

Nombre hexagonal centré carré

$C_{6,n}=m^2⟺(2m{)}^2-3(2n-1{)}^2=1.$

Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et carrés sont alors :

Modèle:Math

Pour les suivants, voir :

Modèle:Math

(Pour la suite des nombres carrés, voir Modèle:OEIS2C.)

Liens avec à la fois les nombres triangulaires et les nombres carrés

• Modèle:Math est le seul nombre à la fois hexagonal centré et carré triangulaire.
• Pour tout entier Modèle:Math, la différence entre le Modèle:Mvar-ième nombre carré impair et le Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré est le Modèle:Math-ième nombre oblong :

Modèle:Retrait

Autrement dit, le Modèle:Mvar-ième nombre carré impair est la somme du Modèle:Mvar-ième nombre hexagonal centré et du double du Modèle:Math-ième nombre triangulaire :

Modèle:Retrait

Cette relation peut faire l'objet d'une preuve sans mot : placer les deux triangles (ayant Modèle:Math points sur chaque côté) contre deux côtés opposés (ayant Modèle:Mvar points chacun) de l'hexagone forme deux pointes opposées et le corps d'un losange (ayant Modèle:Math points sur chaque côté).