Transformation de Möbius

Modèle:Confusion En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de $ℝ^{n}$ noté $\hat{ℝ^{n}}$ , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.

En particulier, si on identifie $\hat{ℝ^{2}}$ à la sphère de Riemann $\hat{ℂ}$ , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme :

M : z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}

avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad – bc ≠ 0, la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si Modèle:Math ou si Modèle:Math = 0 :

si c \neq 0, M (- d / c) = \infty et M (\infty) = a / c; si c = 0, M (\infty) = \infty .

Définition générale

Soit n un entier naturel, on munit ℝModèle:Exp de sa structure euclidienne canonique et on définit alors les inversions de $\hat{ℝ^{n}}$ par rapport à un hyperplan ou à une hypersphère (qu'on appellera parfois plan et sphère par abus de langage) :

pour un hyperplan $P (a, t) = {x \in ℝ^{n} ∣ x \cdot a = t} (a \in ℝ^{n}, t \in ℝ)$ , l'inversion par rapport à Modèle:Math, notée Modèle:Math, est la réflexion par rapport à l'hyperplan Modèle:Math et a donc pour expression : $σ_{P (a, t)} (x) = {\begin{matrix} x - 2 \frac{(x \cdot a) - t}{‖ a ‖^{2}} a & si x \neq \infty, \\ \infty & si x = \infty \end{matrix}$
pour une sphère $S (a, r) = {x \in ℝ^{n} ∣ ‖ x - a ‖ = r} (a \in ℝ^{n}, r \in ℝ^{+}),$ , l'inversion par rapport à Modèle:Math, notée Modèle:Math, s'exprime par : $σ_{S (a, r)} (x) = {\begin{matrix} a + \frac{r^{2}}{‖ x - a ‖^{2}} (x - a) & si x \notin {\infty, a}, \\ a & si x = \infty, \\ \infty & si x = a . \end{matrix}$

On remarque que les inversions sont involutives : si σ est une inversion, σModèle:2 = Id.

De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.

Modèle:Théorème

Exemples de transformations de Möbius

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont :

les isométries de ℝModèle:Exp (par composition de n réflexions au plus), parmi lesquelles les translations (par composition de deux réflexions),
les homothéties de rapport positif (par composition de deux inversions par rapport à des sphères de même centre).

Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique : l'inversion dans ℝModèle:Exp par rapport à la sphère S(eModèle:Ind, Modèle:Sqrt) qui, restreinte à ℝModèle:Exp, correspond à la projection stéréographique de ℝModèle:Exp sur SModèle:Exp = S(0, 1) dans ℝModèle:Exp. C'est en fait le difféomorphisme naturel entre le demi-espace ℋModèle:Exp = Modèle:Nobr et la boule BModèle:Exp = Modèle:Nobr il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

La transformation bilinéaire, qui associe la droite imaginaire à la sphère unité et qui est utilisée en traitement du signal pour faire le lien entre transformée en Z et transformée de Laplace, est un autre cas particulier de transformation de Möbius.

Propriétés générales

Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan Modèle:Harv. En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient : Modèle:Théorème ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important : Modèle:Théorème

Il permet notamment de montrer l'unicité de l'extension de Poincaré d'une transformation $ϕ \in 𝒢 ℳ (\hat{ℝ^{n}})$ : c'est l'unique élément $\tilde{ϕ} \in 𝒢 ℳ (\hat{ℝ^{n + 1}})$ qui conserve ℋModèle:Exp et dont la restriction à ℝModèle:Exp est $ϕ$ , en considérant ℝModèle:Exp comme l'hyperplan de ℝModèle:Exp constitué des points dont la (n + 1)-ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si $a \in ℝ^{n}$ , on note $\tilde{a}$ l'élément de ℝModèle:Exp dont les n premières coordonnées sont celles de a, la (n + 1)-ième étant nulle. L'inversion par rapport à $P (a, t)$ sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à $P (\tilde{a}, t)$ , et de même ${\tilde{σ}}_{S (a, r)} = σ_{S (\tilde{a}, r)}$ . On a la propriété remarquable suivante : Modèle:Théorème

Les transformations de Möbius du plan complexe

Forme générale

Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme

g (z) = \frac{a z + b}{c z + d} avec a d - b c \neq 0 .

Réciproquement, une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes (Modèle:Math) :

$f_{1} (z) = z + d / c$ (translation) ;
$f_{2} (z) = 1 / z$ (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle) ;
$f_{3} (z) = \frac{b c - a d}{c^{2}} z + \frac{a}{c}$ (similitude directe).

Cas particuliers

Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme $z \to \frac{a z + b}{c z + d}$ avec a, b, c, d réels et ad - bc > 0 sont celles qui laissent le demi-plan de Poincaré globalement invariant.
Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme $z \to e^{i ϕ} \frac{z - a}{\overline{a} z - 1}$ avec $| a | \neq 1$ sont celles qui laissent le cercle unité globalement invariant^[1] (y compris celles avec a infini pour prendre en compte les transformations du type $z \to \frac{e^{i θ}}{z}$ ).

Détermination d'une transformation de Möbius du plan

Si Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont trois points distincts ainsi que Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, alors il existe une unique transformation de Möbius Modèle:Retrait Autrement dit : Modèle:Théorème

En effet, en résolvant

A (z_{1}) = 0, A (z_{2}) = 1 et A (z_{3}) = \infty

on trouve comme unique solution $A \in ℳ (\hat{ℂ})$ :

A (z) = {\begin{matrix} \frac{(z - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} & si z_{1}, z_{2}, z_{3} \neq \infty \\ \frac{z_{2} - z_{3}}{z - z_{3}} & si z_{1} = \infty \\ \frac{z - z_{1}}{z - z_{3}} & si z_{2} = \infty \\ \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} & si z_{3} = \infty \end{matrix}

et de même on peut construire B telle que Modèle:Retrait Alors, g répond à la question si et seulement si Bg coïncide avec A en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math donc si et seulement si g = BModèle:-1A.

Représentation par des matrices

En associant à toute matrice $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ telle que $a d - b c \neq 0$ la transformation de Möbius $g_{A}$ définie par $g_{A} (z) = \frac{a z + b}{c z + d}$ , on obtient un morphisme de groupes de [[Groupe général linéaire|GLModèle:Ind(ℂ)]] dans $ℳ (\hat{ℂ})$ . En effet, un calcul algébrique trivial montre que $g_{A B} = g_{A} \circ g_{B}$ .

De plus, ce morphisme est surjectif et son noyau est réduit aux homothéties. On a ainsi :

ℳ (\hat{ℂ}) ≃ {P G L}_{2} (ℂ) = {G L}_{2} (ℂ) / ℂ^{*} I_{2} ≃ {P S L}_{2} (ℂ) = {S L}_{2} (ℂ) / {- I_{2}, + I_{2}} .

Extension de Poincaré

Nous avons vu dans les propriétés générales que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. Nous allons l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant ℝModèle:3 comme le ℝ-sous-espace vectoriel de base Modèle:Math du corps des quaternions. Si on a $g (z) = \frac{a z + b}{c z + d}$ alors son extension de Poincaré a pour expression :

\forall z \in ℂ, t \in ℝ_{*}^{+}, \tilde{g} (z + t j) = \frac{(a z + b) \overline{(c z + d)} + a \bar{c} t^{2} + | a d - b c | t j}{| c z + d |^{2} + | c |^{2} t^{2}} .

Classification

Par stricte 3-transitivité de l'action, une transformation de Möbius du plan différente de l'identité ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de son extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité) : si on définit les transformations normales $m_{k}$ , $k \in ℂ$ par

m_{k} : z \mapsto k z si k \neq 1

m_{1} : z \mapsto z + 1

on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est conjuguée à une unique transformation normale $m_{k}$ , avec

$k = 1$ si $\tilde{g}$ possède un point fixe,
$| k | \neq 1$ si $\tilde{g}$ a deux points fixes et
$| k | = 1, k \neq 1$ si $\tilde{g}$ a une infinité de points fixes.

Enfin, la trace au carré d'un représentant $A \in {P S L}_{2} (ℂ)$ de $g$ (qui est invariante par conjugaison et caractérise $m_{k}$ modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de $\tilde{g}$ . On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant :

Transformation	Points fixes de $\tilde{g}$	Trace au carré $σ$	Forme normale	Représentant
Parabolique	$1$	$σ = 4$	$m_{1}$	$(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})$	$z \mapsto z + a$
Loxodromique	$2$	$σ \in ℂ, σ \in̸ [0, 4]$	$m_{k}, \| k \| \neq 1$ $k = λ^{2}, λ^{- 2}$	$(\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ^{- 1} \end{matrix})$	$z \mapsto k z$
Elliptique	$\infty$	$0 \leq σ < 4$	$m_{k},$ $k = e^{\pm i θ} \neq 1$	$(\begin{matrix} e^{i θ / 2} & 0 \\ 0 & e^{- i θ / 2} \end{matrix})$	$z \mapsto e^{i θ} z$

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique : g sera hyperbolique si sa trace au carré est réelle, strictement loxodromique dans le cas contraire.

Projection stéréographique

La projection stéréographique envoie le plan complexe sur la sphère de Riemann, sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.