Somme directe

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories.

Somme directe interne de sous-espaces vectoriels

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Soient FModèle:Ind et FModèle:Ind deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. On dit que FModèle:Ind et FModèle:Ind sont en somme directe si, pour tout élément u de la [[Somme d'ensembles#En algèbre|somme FModèle:Ind + FModèle:Ind]], il existe un unique couple (uModèle:Ind, uModèle:Ind) de FModèle:Ind×FModèle:Ind tel que u = uModèle:Ind + uModèle:Ind. En d'autres termes, FModèle:Ind et FModèle:Ind sont en somme directe si la décomposition de tout élément de FModèle:Ind + FModèle:Ind en somme d'un élément de FModèle:Ind et d'un élément de FModèle:Ind est unique.

On dit aussi dans ce cas que la somme FModèle:Ind + FModèle:Ind est directe, et on la note alors FModèle:Ind ⊕ FModèle:Ind.

FModèle:Ind et FModèle:Ind sont en somme directe si et seulement s'ils vérifient l'une des propriétés équivalentes suivantes, où 0 désigne le vecteur nul de E :

• pour tout uModèle:Ind de FModèle:Ind et uModèle:Ind de FModèle:Ind, uModèle:Ind + uModèle:Ind = 0 ⇒ uModèle:Ind = uModèle:Ind = 0 ;
• FModèle:Ind∩FModèle:Ind = {0} ;
• il existe une base de FModèle:Ind et une base de FModèle:Ind qui, mises bout à bout, forment une base de FModèle:Ind + FModèle:Ind ;
• n'importe quelles bases de FModèle:Ind et de FModèle:Ind, mises bout à bout, forment une base de FModèle:Ind + FModèle:Ind.

Cas de la dimension finie : lorsque FModèle:Ind et FModèle:Ind sont de dimensions finies, la somme FModèle:Ind + FModèle:Ind est directe si et seulement si [[Dimension d'un espace vectoriel|dim(FModèle:Ind)]] + dim(FModèle:Ind) = dim(FModèle:Ind + FModèle:Ind).

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces FModèle:Ind et FModèle:Ind de E sont dits supplémentaires lorsque E = FModèle:Ind ⊕ FModèle:Ind. Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple (uModèle:Ind, uModèle:Ind) de FModèle:Ind×FModèle:Ind tel que u = uModèle:Ind + uModèle:Ind. Modèle:Article détaillé

Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille quelconque (FModèle:Ind)Modèle:Ind de sous-espaces vectoriels de E (indexée par un ensemble I fini ou infini). On dit que cette famille est en somme directe si tout vecteur u de la [[Sous-espace vectoriel#Somme de sous-espaces vectoriels|somme ∑Modèle:Ind FModèle:Ind]] se décompose de façon unique sous la forme Modèle:Nobr avec uModèle:Ind ∈ FModèle:Ind presque tous nuls (Modèle:C.-à-d. tous sauf un nombre fini). En d'autres termes, la famille est en somme directe si la décomposition de tout élément u de ∑Modèle:Ind FModèle:Ind en somme d'éléments des FModèle:Ind est unique.

On dit aussi dans ce cas que la somme ∑Modèle:Ind FModèle:Ind est directe, et on la note alors ⊕Modèle:Ind FModèle:Ind.

Comme dans le cas de deux sous-espaces vectoriels, la famille (FModèle:Ind)Modèle:Ind est en somme directe si et seulement si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• si 0 = ∑Modèle:Ind uModèle:Ind avec uModèle:Ind ∈ FModèle:Ind (presque tous nuls), alors tous les uModèle:Ind sont nuls ;
• il existe des bases des FModèle:Ind (une pour chacun) qui, mises bout à bout, forment une base de ∑Modèle:Ind FModèle:Ind ;
• n'importe quelles bases des FModèle:Ind (une pour chacun), mises bout à bout, forment une base de ∑Modèle:Ind FModèle:Ind.

Lorsque les FModèle:Ind sont en somme directe on a donc, quelles que soient leurs dimensions (finies ou infinies) : dim(⊕Modèle:Ind FModèle:Ind) = ∑Modèle:Ind dim(FModèle:Ind).

Exemple : soient f un endomorphisme de E et pour chacune de ses valeurs propres λ, soit EModèle:Ind = ker(f – λ[[Application identité|Modèle:MathModèle:Ind]]) le sous-espace propre associé. Alors les EModèle:Ind sont en somme directe, et si cette somme est égale à E, on dit que f est diagonalisable. Lorsque c'est le cas, on constitue une base de E de vecteurs propres pour f en concaténant une base de chacun des EModèle:Ind.

Il résulte des caractérisations équivalentes ci-dessus qu'une famille finie (FModèle:Ind, … , FModèle:Ind) est en somme directe si et seulement si chacun des sous-espaces est en somme directe avec la somme des précédents, Modèle:C.-à-d. : Modèle:Retrait

Si FModèle:Ind, … , FModèle:Ind sont de dimensions finies, on en déduit que (comme pour n = 2) leur somme est directe si et seulement si Modèle:Retrait

Remarque : la propriété d'être en somme directe est évidemment préservée par sous-familles.

Par exemple, si (FModèle:Ind)Modèle:Ind est en somme directe, alors chaque sous-famille de deux des FModèle:Ind l'est, autrement dit : pour tous i et j distincts, FModèle:Ind∩FModèle:Ind = {0}.

La réciproque est fausse : par exemple trois droites vectorielles coplanaires ne sont jamais en somme directe, alors que deux quelconques d'entre elles le sont dès qu'elles sont distinctes.

Somme directe orthogonale

Dans un espace préhilbertien (réel ou complexe), toute famille de sous-espaces deux à deux orthogonaux (par exemple : un sous-espace F et [[Complément orthogonal|son orthogonal FModèle:Exp]]) est en somme directe. Une telle somme est appelée « Modèle:Lien ». Si l'espace préhilbertien est euclidien ou hermitien, c'est-à-dire de dimension finie, une famille de sous-espaces est en somme directe orthogonale si et seulement si, en concaténant une base orthonormée de chaque sous-espace, on constitue une base orthonormée de leur somme.

L'orthogonal FModèle:Exp de F, lorsqu'il lui est supplémentaire, est appelé son supplémentaire orthogonal. Une condition suffisante pour cela est que F soit complet (ce qui est réalisé en particulier s'il est de dimension finie). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.

Somme directe externe

Définition

Soit (EModèle:Ind)Modèle:Ind une famille d'anneaux, ou de modules sur un même anneau (par exemple des groupes abéliens ou des espaces vectoriels sur un même corps). On construit sa « somme directe externe » (ou simplement « somme directe »), notée (⊕Modèle:Ind EModèle:Ind, (ϕModèle:Ind)Modèle:Ind), de la façon suivante :

• dans son produit direct ∏Modèle:Ind EModèle:Ind, qui est alors une structure algébrique de même type, les familles (uModèle:Ind)Modèle:Ind à support fini (c'est-à-dire dont les uModèle:Ind sont presque tous nuls) forment une sous-structure, notée ⊕Modèle:Ind EModèle:Ind. (Lorsque I est fini, on a donc ⊕Modèle:Ind EModèle:Ind = ∏Modèle:Ind EModèle:Ind.)
• pour chaque indice i, le morphisme canonique ϕModèle:Ind : EModèle:Ind → ⊕Modèle:Ind EModèle:Ind est défini par : pour tout xModèle:Ind ∈ EModèle:Ind, ϕModèle:Ind(xModèle:Ind) est la famille dont la i-ème composante est xModèle:Ind et les autres composantes sont nulles.

Propriété universelle

Modèle:Article détaillé La somme directe externe est une somme au sens des catégories, c'est-à-dire que (pour des modules, par exemple) :

Liens avec la somme directe interne

Modèle:Ancre La somme directe externe définie ici et la somme directe « interne » définie plus haut ont une appellation et une notation communes. Cela est justifié par les liens suivants.

• Chaque EModèle:Ind se « plonge » dans la somme directe externe ⊕Modèle:Ind EModèle:Ind, par le morphisme canonique ϕModèle:Ind (injectif).
  L'image de EModèle:Ind dans ⊕Modèle:Ind EModèle:Ind est un sous-module FModèle:Ind isomorphe à EModèle:Ind. Ces FModèle:Ind sont en somme directe etla somme directe externe ⊕Modèle:Ind EModèle:Ind est égale à la somme directe « interne » ⊕Modèle:Ind FModèle:Ind(donc pour des espaces vectoriels, dim(⊕Modèle:Ind EModèle:Ind) = dim(⊕Modèle:Ind FModèle:Ind) = ∑Modèle:Ind dim(FModèle:Ind) = ∑Modèle:Ind dim(EModèle:Ind)).
• On peut, avec la notion de somme directe externe, redéfinir celle de somme directe « interne » : une famille (FModèle:Ind)Modèle:Ind de sous-modules de E est en somme directe si et seulement si le morphisme somme — qui résulte de la propriété universelle ci-dessous et va de la somme directe externe F = ⊕Modèle:Ind FModèle:Ind dans E, associant à toute famille sa somme — est injectif (autrement dit : réalise un isomorphisme de F sur ∑Modèle:Ind FModèle:Ind).

Somme directe hilbertienne

Une notion utilisée en physique (voir « Espace de Fock ») est celle de « somme directe hilbertienne » d'espaces de Hilbert. Pour toute famille $(H_i{)}_{i\in I}$ d'espaces de Hilbert, cette somme $\underset{i\in I}{⨁}{H}_i$ (dans la catégorie des espaces de Hilbert) existe. On peut la réaliser de deux manières :

• en complétant l'espace préhilbertien que constitue leur somme directe externe algébrique vue plus haut (si $I$ est fini, cette somme algébrique est déjà complète) ;
• plus directement, en considérant, dans l'espace vectoriel produit $\prod _{i\in I}{H}_i$, le sous-espace vectoriel $H$ constitué des familles $h=(h_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{H}_i$ telles que $\sum _{i\in I}\Vert h_i{\Vert }^2$ soit sommable — ce qui implique que $h_i=0$ sauf pour un ensemble au plus dénombrable d'indices $i$ — et en munissant $H$ de la norme préhilbertienne définie par $\Vert h{\Vert }^2:=\sum _{i\in I}\Vert h_i{\Vert }^2$. On vérifie que $H$ est complet pour cette norme, qui dérive du produit scalaire défini par : $\mathrm{\forall }h,h^{\prime }\in H⟨h\mid h^{\prime }⟩:=\sum _{i\in I}⟨h_i\mid h{\text{'}}_i⟩$ (somme d'une série absolument convergente, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Chaque $H_i$ est isomorphe (au sens des espaces de Hilbert, donc par une isométrie linéaire) à un sous-espace fermé de $\underset{j\in I}{⨁}{H}_j$, via l'injection canonique $H_i\to \underset{j\in I}{⨁}{H}_j$, et $\underset{j\in I}{⨁}{H}_j$ est la somme directe orthogonale de tous ces sous-espaces.

Dans le cas particulier où chaque $H_i$ est [[Droite vectorielle|de dimension Modèle:Math]], $\underset{i\in I}{⨁}{H}_i$ est isomorphe à l'[[Espace de Hilbert#Classification|espace Modèle:Math]].

En théorie des catégories : le paradigme des catégories linéaires

Modèle:Section travail inédit La somme directe est la somme (ou coproduit) dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps fixé ; c'est-à-dire, naïvement, que la somme directe consiste à « rassembler » deux espaces vectoriels en un troisième, en limitant leur « télescopage » au strict minimum, à savoir le vecteur nul (de la même façon que la réunion disjointe d'ensembles consiste à rassembler leurs éléments respectifs dans un nouvel ensemble, en évitant de télescoper des éléments identiques s'ils proviennent d'ensembles distincts).

Or, la particularité de ce coproduit est qu'Modèle:Douteux, ce qui n'est pas le cas dans toutes les catégories. Par exemple, dans la catégorie des ensembles, non seulement le produit (à savoir le produit cartésien) n'est pas isomorphe au coproduit qu'est la réunion disjointe, mais le produit est distributif sur le coproduit, de même qu'en arithmétique élémentaire le produit est distributif sur la somme.

Observant que les catégories présentent généralement l'un ou l'autre aspect — mutuellement exclusifs — William Lawvere propose d'appeler Modèle:Lien celles dans lesquelles le produit est distributif sur le coproduit (qui, dans ce contexte, peut légitimement prendre le nom de somme), et « catégories linéaires » celles dans lesquelles, comme Modèle:Douteux.