Produit semi-direct

En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe $G$ à partir de deux groupes $H$ et $K$, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interne

Un groupe $G$ est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal $H$ par un sous-groupe $K$ si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

• $H\cap K=\{1\}\text{ et }G=HK$ (en d'autres termes, $H$ et $K$ sont compléments l'un de l'autre dans $G$) ;
• $\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\exists }!(h,k)\in H\times K,g=hk$ (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de $H$ et d'un élément de $K$) ;
• la restriction à $K$ de la surjection canonique $G\to G/H$ est un isomorphisme entre $K$ et $G/H$ ;
• la surjection canonique $G\to G/H\to 1$ se scinde par un morphisme $s$ tel que $s(G/H)=K$.

La décomposition des éléments de $G$ comme produit d'un élément de $H$ et d'un élément de $K$ est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

$g_1=h_1{k}_1\text{ et }{g}_2=h_2{k}_2$

deux éléments de $G$ ainsi décomposés. On a :

$g_1{g}_2=h_1{k}_1{h}_2{k}_2=(h_1{k}_1{h}_2{k}_1^{-1})(k_1{k}_2)$

décomposé en un élément $h_1{k}_1{h}_2{k}_1^{-1}$ de $H$ (on utilise ici le fait que $H$ est normal), et un élément $k_1{k}_2$ de $K$.

Dans ce cas, le groupe $K$ agit par conjugaison sur $H$, et le groupe $G$ est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de $H$ par $K$ muni de la loi :

$(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1{h}_2{k}_1^{-1}),k_1{k}_2)$

Pour tout $k\in K$, l'application

$f(k):H\to H:h\mapsto kh{k}^{-1}$

est un automorphisme de $H$. En outre, l'application

$f:K\to \text{Aut}(H):k\mapsto f(k)$

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $H$ et $K$, et un morphisme $f$ de $K$ dans le groupe $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$ des automorphismes de $H$, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe $G$ de $H$ et $K$ suivant $f$ comme le produit cartésien de $H$ et $K$ muni de la loi de groupe :

$(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_{1}f(k_1)(h_2),k_1{k}_2)$

où l'inverse d'un élément $(h,k)$ est $(f(k^{-1})(h^{-1}),k^{-1})$.

On peut injecter $H$ dans $G$ par l'injection canonique $h\mapsto (h,e_K)$, et injecter $K$ dans $G$ par l'injection canonique $k\mapsto (e_H,k)$. On vérifie alors que $G$ est le produit semi-direct interne de $H$ par $K$ au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme $f(k)$ est l'automorphisme de conjugaison par $k$. On note

$G=H{⋊}_{f}K$ ou tout simplement $G=H{\times }_{f}K$.

Le cas où $f$ est le morphisme trivial de groupe (i.e. $f(k_1)(h_2)=h_2$) correspond au produit direct.

Soient $H,H_1,K,K_1$ des groupes, $f$ un morphisme de $H$ dans $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(K)$, $f_1$ un morphisme de $H_1$ dans $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(K_1)$. Alors $f$ et $f_1$ peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de $H$ sur $K$ et de $H_1$ sur $K_1$ par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

$H{⋊}_{f}K$ et $H_1{⋊}_{f_1}{K}_1$

sont des groupes isomorphes.

Exemples

• Le groupe diédral D_2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique C_n d'ordre n par un groupe cyclique CModèle:Ind d'ordre 2, où l'unité de CModèle:Ind agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de CModèle:Ind agit sur C_n par inversion. Explicitement, le morphisme $f$ de CModèle:Ind dans Aut(C_n) est défini par :Modèle:RetraitGéométriquement, le groupe C_n est engendré par une rotation, le groupe CModèle:Ind par une réflexion.
• Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme $f(v)=u+\phi (v)$ où $\phi$ est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple $(u,\phi )$. La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :

$(u,\phi )(v,\psi ):=(u+\phi (v),\phi \circ \psi )$.

• En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
• Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition.
• Le groupe linéaire sur un anneau commutatif R est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe RModèle:Exp des éléments inversibles de R.
• L'holomorphe d'un groupe G peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.

Groupe dérivé

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = H⋊K est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K).

En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).

Voir aussi

Articles connexes

• Extension de groupes
• Holomorphe d'un groupe
• Produit en couronne
• Modèle:Lien

Bibliographie

• Modèle:Perrin1, 1996, p. 21-24
• Modèle:Ouvrage