Nombre premier long

En arithmétique, un nombre premier long en base $b$ est un nombre premier $p$ tel que la période du développement en base $b$ du rationnel $1/p$ ait une longueur maximale, à savoir $p-1$.

Par exemple le nombre premier 7 est long en base 10 car $1/7=0,\overline{142857}$ (période de longueur 6), mais 13 ne l'est pas car $1/13=0,\overline{076923}$ (période de longueur 6).

Sauf mention explicite, la base $b$ considérée est la base dix.

Caractérisations

Modèle:Article détaillé La longueur de la période du développement en base $b$ non divisible par $p$ du rationnel $1/p$ (laquelle commence directement après la virgule) étant égale à l'ordre de $\bar{b}$ dans le groupe $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{*}$, le nombre $p$ est un nombre premier long en base $b$ si et seulement si le groupe $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{*}$ admet $\bar{b}$ comme générateur, ou ce qui est équivalent, si $b$ est une racine primitive modulo $p$.

Ceci équivaut au fait que le nombre $p$ ne divise aucun des nombres $b^d-1=(b-1)\underset{d\text{ chiffres 1}}{\underbrace{11...1_b}}$ où $d$ est un diviseur strict de $p-1$.

Une caractérisation équivalente est que l'entier $\frac{b^{p-1}-1}{p}$ soit cyclique.

Exemples

• Les dix premiers nombres premiers longs en base 10 sont 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97 ,109 : Modèle:OEIS.
• Les dix premiers nombres premiers long en base 2 sont : 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61 : Modèle:OEIS
• 2 est long en toute base impaire.
• 3 est long en base $3m+2$ car $\overline{3m+2}=\bar{2}$ engendre $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^{*}$ ; on a $1/3=0,{\overline{m(2m+1)}}_{3m+2}$.
• 5 est long en bases $5m+2$ et $5m+3$ car $\bar{2}$ et $\bar{3}$ engendrent $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{*}$; on a $1/5=0,{\overline{m(2m)(4m+1)(3m+1)}}_{5m+2}$ et $1/5=0,{\overline{m(3m+1)(4m+2)(2m+1)}}_{5m+3}$

Conjecture d'Artin

D'après la conjecture d'Artin sur les racines primitives, la densité asymptotique de l'ensemble des nombres premiers longs en base $b$, si $b$ n'est pas une puissance parfaite et si sa partie sans facteur carré n'est pas congrue à 1 modulo 4 (ce qui est le cas de 10), alors l'ensemble des nombres premiers longs en base $b$ a pour densité asymptotique la constante d'Artin : Modèle:Retrait

Articles connexes

• Liste de suites de nombres premiers