Conjecture d'Artin sur les racines primitives

En théorie des nombres, la conjecture d'Artin est une conjecture sur la densité asymptotique relative de l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels un entier relatif Modèle:Mvar donné est une racine primitive, dans l'ensemble des nombres premiers. En termes simplistes, la conjecture d'Artin affirme que Modèle:Mvar est générateur pour environ 37 % des nombres premiers.

Formulation

Plus précisément, notons Modèle:Math l'ensemble des nombres premiers Modèle:Mvar tels que Modèle:Mvar engendre [[Anneau Z/nZ#Cas où n est_premier|(ℤ/Modèle:Mvarℤ)*]]. Dans son journal, Helmut Hasse mentionne qu'Emil Artin lui a communiqué le Modèle:Date- la conjecture suivante (nous donnons ici une formulation plus précise due à Derrick Lehmer) :

Supposons que Modèle:Mvar est différent de Modèle:Math (cas peu intéressant car Modèle:Math est alors inclus dans Modèle:Math) et n'est pas un carré, et notons Modèle:Mvar sa partie sans facteur carré. Alors :

1. Modèle:Math a une densité strictement positive parmi l'ensemble des nombres premiers (cela implique en particulier que Modèle:Math est infini).
2. Si Modèle:Mvar n'est pas une puissance parfaite et si Modèle:Mvar n'est pas congru à Modèle:Math modulo Modèle:Math (Modèle:OEIS), cette densité est indépendante de Modèle:Mvar et égale à la constante d'Artin, qui s'exprime sous la forme du produit infini suivant :Modèle:RetraitVoir les décimales de cette constante comme Modèle:OEIS.
3. Si Modèle:Mvar n'est pas une puissance parfaite et si Modèle:Mvar est congru à Modèle:Math modulo Modèle:Math, alors la constante est multipliée par un autre produit, où Modèle:Mvar désigne la fonction de MöbiusModèle:, :Modèle:Retrait
4. Si Modèle:Mvar, alors la densité est multipliée par un facteur faisant intervenir la fonction multiplicative Modèle:Mvar définie par : Modèle:Math pour tout nombre premier Modèle:Mvar :Modèle:Retrait

Exemples

Par exemple, pour Modèle:Math, la conjecture affirme que l'ensemble Modèle:Math des nombres premiers Modèle:Mvar pour lesquels Modèle:Math est une racine primitive a la densité Modèle:Mvar. Cet ensemble correspond à la Modèle:OEIS :Modèle:RetraitIl a 38 éléments plus petits que 500 et il y a 95 nombres premiers plus petits que 500. La proportion est donc 38/95 = 2/5 = 0,4 (et la conjecture affirme que cette proportion tend vers Modèle:Mvar).

Pour Modèle:Math, l'ensemble Modèle:Math est formé des [[Nombre premier long|nombres premiers Modèle:Mvar dits « longs »]], dont l'écriture décimale de l'inverse a une période maximale, de longueur Modèle:Math, comme Modèle:Math dont l'inverse est Modèle:Math.

Cet ensemble correspond à la Modèle:OEIS : S(10) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499…} dont la partie inférieure à 500 a une densité 35/95 = 0,368….

Preuves partielles

En 1967, Christopher Hooley a publié une démonstration reposant sur l'hypothèse de Riemann généraliséeModèle:, (dont la véracité n'est pas à ce jour établie). En 1984, Rajiv Gupta et M. Ram Murty ont démontré (indépendamment de toute hypothèse) que la conjecture d'Artin est vraie pour un nombre infini de valeurs de Modèle:Mvar, en utilisant une méthode de crible. Roger Heath-Brown a amélioré ce résultat en montrant qu'il y a au plus deux trublions. Ce résultat n'est pas une démonstration constructive et on ne connaît donc pas la valeur de ces trublions. Ainsi, si l'on considère Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math, le théorème de Heath-Brown nous dit que la conjecture est vraie pour au moins l'une de ces valeurs, mais on ne sait pas dire laquelle. À ce jour, il n'y a d'ailleurs pas une seule valeur de Modèle:Mvar pour laquelle nous ayons une démonstration que Modèle:Math est infini.

Voir aussi

Article connexe

Développement décimal périodique