Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

Modèle:Homon Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki.

Si E est un ℝ-espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par

$V^{\circ }=\{\ell \in E^{\prime }\mid \mathrm{\forall }v\in V|\ell (v)|\le 1\},$

est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.

Dans le cas où E est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la boule unité fermée de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte, ou encore, que toute partie de E' fortement bornée est *-faiblement relativement compacte.

Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Démonstration

Le dual topologique E', muni de la topologie faible-*, est un sous-espace du produit ℝModèle:Exp.

Dans ce produit, V° est inclus dans un produit de segments (car V est absorbant) donc dans un compact (d'après le théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie de l'axiome du choix).

Enfin, V° est fermé, comme intersection des fermés FModèle:Ind qui définissent la linéarité d'un élément de ℝModèle:Exp :

et des fermés GModèle:Ind qui imposent les contraintes sur V :

En effet, une forme linéaire sur E qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage V de 0.

Version séquentielle

Si un espace vectoriel normé E est séparable alors la boule unité B de son dual topologique (munie de la topologie faible-*) est métrisable donc sa compacité équivaut à sa compacité dénombrable et à sa compacité séquentielle. On peut démontrer directement cette dernière de façon plus élémentaire : Modèle:Retrait Si E n'est pas séparable, le compact B peut ne pas être séquentiellement compact : un contre-exemple est fourni par E = [[Espace de suites ℓp|ℓModèle:Exp]] = C(βℕ).

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Théorème d'Eberlein-Šmulian
• Théorème de Goldstine
• Théorème de sélection de Helly
• Théorème de James
• Dual d'un espace vectoriel topologique

Liens externes

• Applications du théorème de Tykhonov aux espaces vectoriels normés sur le site les-mathematiques.net
• Modèle:MathWorld

Bibliographie

• Modèle:Rudin2
• Modèle:Brezis