Approximation de Bernstein

La suite des polynômes de Bernstein (en vert) converge vers la fonction f qu'elle doit approcher (ici, $x\mapsto x\sin (7/2\pi \sqrt{x})$, en rouge).

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue Modèle:Math définie sur le segment [0, 1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cette preuve constructive du théorème d'approximation de Weierstrass est due à Sergueï Natanovitch Bernstein.

Définition

La Modèle:Math-ième approximation de Modèle:Math est le polynôme

$P_n(f)=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)B_k^n,$

où les $B_k^n$ sont les polynômes de Bernstein :

$B_k^n(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}.$

On construit donc Modèle:Math à partir des valeurs de Modèle:Math aux points 0, Modèle:Frac, …, Modèle:Frac et 1 mais, en ces points, la valeur de Modèle:Math peut être différente de celle de Modèle:Math, autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de Modèle:Math vers Modèle:Math s'énonce donc de la façon suivante : Modèle:Retrait

Il convient de noter que si Modèle:Math est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresModèle:Math, alors Modèle:Math n'est rien d'autre que l'espérance de Modèle:Math, c'est-à-dire la moyenne de Modèle:Math appliquée à la fraction du nombre de succès obtenus sur la répétition de Modèle:Math expériences aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli de probabilité de succès Modèle:Math. La convergence simple de Modèle:Math vers Modèle:Math est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre Modèle:Frac et Modèle:Math, on en déduit la convergence uniforme.

Démonstration

Les opérateurs linéaires Modèle:Math sur C([0, 1]) étant Modèle:Lien, il suffit, d'après le théorème d'approximation de Korovkin, de vérifier la convergence pour les trois fonctions monomiales [[Fonction constante|fModèle:Ind(x) = 1]], [[Application identité|fModèle:Ind(x) = x]] et [[Fonction carré|fModèle:Ind(x) = xModèle:2]].

Or Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, ce qui conclut.

Vitesse de convergence

Soit Modèle:Mvar une fonction continue sur Modèle:Math, et Modèle:Mvar le module de continuité de Modèle:Mvar. Alors on a l'inégalité :

$\Vert f-P_n(f){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{9}{4}\omega \left(n^{-1/2}\right)$

Où $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ représente la norme « infini ».

Ce résultat permet d'assurer une certaine vitesse de convergence de la suite de polynômes de Bernstein vers la fonction Modèle:Mvar, en fonction du module de continuité de Modèle:Mvar.

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Inégalité de Jackson