Approximation de Korovkin

Le théorème d'approximation de Korovkin est un résultat d'analyse fonctionnelle découvert par Modèle:Lien dans les années 1950Modèle:,. Il permet de se contenter, pour démontrer que certains processus d'approximation convergent pour toutes les fonctions considérées, de le vérifier pour un ensemble fini d'entre elles. Il unifie ainsi divers procédés comme celui de Bernstein, qui fournit l'une des preuves du théorème de Weierstrass. Élémentaire mais fructueux, il est à l'origine d'une branche active de la théorie constructive de l'approximationModèle:,.

Énoncé

Soient C([a, b]) l'espace des fonctions réelles continues sur un segment réel [a, b], et (PModèle:Ind) une suite d'opérateurs linéaires Modèle:Lien de C([a, b]) dans C([a, b]). Si PModèle:Ind(f) converge uniformément sur [a, b] vers f pour les trois fonctions monomiales [[Fonction constante|fModèle:Ind(x) = 1]], [[Application identité|fModèle:Ind(x) = x]] et [[Fonction carré|fModèle:Ind(x) = xModèle:2]], alors il en est de même pour toute fonction f de C([a, b])Modèle:,.

Démonstration

Soit Modèle:Math une fonction continue sur Modèle:Math. MontronsModèle:, que la suite des fonctions Modèle:Math converge uniformément vers Modèle:Math sur Modèle:Math. Fixons un réel Modèle:Math.

L'application Modèle:Math, continue sur le compact Modèle:Math, est :

• uniformément continue (d'après le théorème de Heine). Il existe donc Modèle:Math tel que Modèle:Retrait
• bornée (d'après le théorème des bornes). Notons Modèle:Math un majorant de |Modèle:Math|.

Soit Modèle:Math. Pour tout Modèle:Math, on a :

• si Modèle:Math alors Modèle:Math ;
• si Modèle:Math alors Modèle:Math.

La valeur Modèle:Math est donc toujours comprise entre Modèle:Retrait Par positivité des opérateurs Modèle:Math, on en déduit que Modèle:Retrait Or Modèle:Math et Modèle:Math sont des polynômes du second degré — c'est-à-dire des combinaisons linéaires de Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math — donc (par hypothèse sur les Modèle:Math) Modèle:Retrait uniformément sur Modèle:Math. De plus, puisque les coefficients de ces deux combinaisons linéaires sont des fonctions bornées de Modèle:Math, la convergence est également uniforme par rapport à Modèle:Math. Il existe donc Modèle:Math tel que pour tout Modèle:Math et tous Modèle:Math : Modèle:Retrait en particulier : Modèle:Retrait d'où finalement : Modèle:Retrait On a donc bien : Modèle:Retrait