Groupe de Heisenberg

En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :

$H_3(A)=\{\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)|a,b,c\in A\}.$

Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », $H_3(ℝ)$, lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.

Le « groupe de Heisenberg discret » $H_3(\mathbb{Z})$ correspond à l'anneau ℤ des entiers.

Le groupe de Heisenberg $H_3({\mathrm{F}}_p)$, où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini FModèle:Ind = ℤ/pℤ. C'est un p-groupe fini, d'ordre pModèle:3.

Structure de groupe

$H_3(A)$ est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).

La loi sur [[Produit cartésien|AModèle:3]] induite par la bijection

$A^3\to H_3(A),(a,b,c)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

est :

$(a,b,c)(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })=(a+a^{\prime },b+b^{\prime },c+c^{\prime }+a{b}^{\prime }).$

C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).

Par construction, AModèle:3 muni de cette loi est un groupe isomorphe à $H_3(A)$, dans lequel :

• les puissances n-ièmes sont données par $(a,b,c{)}^n=(na,nb,nc+\frac{n(n-1)}{2}ab)$,
• le symétrique de $(a,b,c)$ est $(-a,-b,-c+ab)$, donc
• le commutateur $[x,y]:=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ de $x:=(a,b,c)$ et $y:=(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$ est $(0,0,a{b}^{\prime }-b{a}^{\prime })$, donc
• le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.

Le groupe $H_3(A)$ est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

Groupe de Heisenberg continu

$H_3(ℝ)$ est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret $H_3(\mathbb{Z})$ en est un réseau.

Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique $(V,\omega )$ ($\omega$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur $V$). Le groupe de Heisenberg $H(V)$ est l'espace topologique produit $V\times ℝ$, muni de la loi de groupe :

$(v_1,t_1)*(v_2,t_2)=(v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega (v_1,v_2)).$

Le groupe $H(V)$ est une extension du groupe additif de $V$. L'algèbre de Lie de $H(V)$ est l'espace vectoriel $h(V)=V\oplus ℝ$, muni du crochet de Lie

$[(v_1,t_1),(v_2,t_2)]=(0,\omega (v_1,v_2)).$

Groupe de Heisenberg discret

Le groupe $H_3(\mathbb{Z})$, identifié à ${\mathbb{Z}}^3$ muni de la loi ci-dessus, est engendré par $x:=(1,0,0)$ et $y:=(0,1,0)$. En faisant intervenir leur commutateur $z:=[x,y]=(0,0,1)$, on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs $x,y,z$ et trois relations : $z=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$, $xz=zx$ et $yz=zy$.

D'après le théorème de Bass, $H_3(\mathbb{Z})$ a une Modèle:Lien polynomiale d'ordre 4.

Groupe de Heisenberg sur FModèle:Ind

D'après sa structure Modèle:Supra :

• $H_3({\mathrm{F}}_p)$ a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p-groupe abélien élémentaire (isomorphe à (ℤ/pℤ)×(ℤ/pℤ)) : on dit que $H_3({\mathrm{F}}_p)$ est un p-Modèle:Lien ;
• ce quotient est aussi l'abélianisé de $H_3({\mathrm{F}}_p)$.

Cas p premier impair

Le groupe $H_3({\mathrm{F}}_p)$ est le quotient de $H_3(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}⋉(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})$ par le sous-groupe normal $p\mathbb{Z}⋉(p\mathbb{Z}\times p\mathbb{Z})$. Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de $H_3({\mathrm{F}}_p)$ (déduite de celle de $H_3(\mathbb{Z})$ ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs $x,y,z$ et les relations : $z=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$, $xz=zx$, $yz=zy$ et $x^p=y^p=z^p=1$.

L'exposant de $H_3({\mathrm{F}}_p)$ est p.

Cas p = 2

Le groupe $H_3({\mathrm{F}}_2)$ est isomorphe au groupe diédral DModèle:Ind. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images $\bar{x},\bar{y}$ des générateurs $x,y$ de $H_3(\mathbb{Z})$, ou encore par $\sigma :=\bar{x}$, d'ordre 2 et $\tau :=\bar{x}\bar{y}$, d'ordre 4, qui vérifient $\sigma \tau {\sigma }^{-1}={\tau }^{-1}.$