Série convergente

En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet —, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large palette de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.

Définition et propriétés générales

Les séries considérées sont numériques (à termes réels ou complexes), ou vectorielles, à valeurs dans un espace vectoriel normé. On dit que la série de terme général $a_n$ converge lorsque la suite $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ des sommes partielles converge, où pour tout entier naturel Modèle:Math,

$A_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$

Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles

$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n$

Si on modifie un nombre fini de termes d'une série, alors on ne change pas sa nature (convergence ou divergence). Bien sûr, si la série est convergente, changer ses premiers termes modifie sa somme.

Condition nécessaire, divergence grossière

Si la série $\sum _{}^{}{a}_n$ est convergente, alors la suite $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers 0 puisque

$\mathrm{\forall }n\ge 1,a_n=A_n-A_{n-1}$

Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.

Exemple : $\sum _{}^{}(-1{)}^n$ est une série grossièrement divergente

Convergence absolue

La convergence absolue fournit une condition suffisante très fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série $\sum a_n$ à termes réels ou complexes est absolument convergente lorsque la série de terme général $|a_n|$ (valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe) est convergente. Et dans ce cas, la série $\sum a_n$ elle-même converge.

Plus généralement, si $\sum a_n$ est une série à termes dans un espace de Banach, on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général $\Vert a_n\Vert$ est convergente. Et dans ce cas, la série $\sum a_n$ elle-même converge.

Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquelles existent de nombreux résultats spécifiques.

Séries de réels positifs

Si tous les termes $a_n$ sont des réels positifs, la série $\sum a_n$ est dite à termes positifs. Pour une telle série, la suite des sommes partielles $(A_n)$ est croissante. Elle est alors soit convergente, soit divergente de limite infinie.

Principe général : règles de comparaison

Il est possible d'énoncer une règle de comparaison entre deux séries à termes positifs sur laquelle s'appuient les autres règles d'étude.

• Si les séries ont des termes généraux Modèle:Math et Modèle:Math positifs, avec en outre pour tout Modèle:Math, Modèle:Math : si la série de terme général Modèle:Math est convergente, celle de terme général Modèle:Math converge aussi (ou, ce qui est équivalent : si la série de terme général Modèle:Math est divergente, celle de terme général Modèle:Math diverge aussi).
  Bien sûr, effectuer la comparaison à partir d'un certain rang suffit.
• Plus généralement, si la suite Modèle:Math est dominée par Modèle:Math (Modèle:Math avec les notations de Landau — en particulier si les termes sont strictement positifs et si pour tout Modèle:Math, $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n}$) : si Modèle:Math converge, alors Modèle:Math aussi.
• Par conséquent,si Modèle:Math alors les séries Modèle:Math et Modèle:Math sont de même nature. (De plus — voir Théorème de Stolz-Cesàro — cette équivalence de suites est transmise aux sommes partielles si les deux séries divergent, et aux restes si elles convergent.)

Ces critères ne peuvent être appliqués qu'à des séries à termes positifs. Par exemple les séries de terme général

$u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}{v}_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\sim u_n$

sont, la première, convergente, et la seconde divergente.

Règles de convergence pour les séries à termes positifs

Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détaillée dans l'article correspondant.

• Règle de d'Alembert
  Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers une limite Modèle:Math . Dans ces conditions la série : converge si Modèle:Math ; diverge si Modèle:Math ; si Modèle:Math on ne peut pas conclure.
  Il existe une règle de Raabe-Duhamel pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux (Modèle:Math).
• Règle de Cauchy
  Si les termes $a_n$ sont strictement positifs et s'il existe une constante Modèle:Math telle que $(a_n{)}^{\frac{1}{n}}\le C$ , alors $\sum a_n$ est convergente.
• Règle de comparaison série-intégrale
  Si $f$ est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle Modèle:Math, alors la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

Autres méthodes

Critère de Cauchy

Une série à valeurs dans un espace de Banach est convergente si (et seulement si) ses sommes partielles forment une suite de Cauchy, c'est-à-dire : Modèle:Retrait

Exemple : dans l'[[Espace de suites ℓp|espace ℓModèle:Exp(ℕ)]] muni de sa base de Schauder canonique ([[Symbole de Kronecker|δModèle:Ind]])Modèle:Ind, pour toute suite (λModèle:Ind)Modèle:Ind de scalaires telle que ∑Modèle:Ind|λModèle:Ind|Modèle:Exp < Modèle:Math, la série de terme général λModèle:IndδModèle:Ind est inconditionnellement convergente, puisqu'elle et toutes ses permutées vérifient le critère de Cauchy et que l'espace est complet.

Test de Dirichlet

Modèle:Article détaillé Soient

• $({\alpha }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle décroissante qui tend vers 0 ;
• $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite complexe telle que pour un certain réel $M$ : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\left|\sum _{k=0}^n{u}_k\right|\le M.$

Alors $\sum {\alpha }_n{u}_n$ est convergente.

Articles connexes

• Série de Riemann
• Série de Bertrand
• Famille sommable
• Test de condensation de Cauchy