Série des inverses des nombres premiers

Représentation de la somme des inverses des nombres premiers (en bleu). On observe que la somme diverge lentement vers l'infini car elle est bornée inférieurement par une fonction divergente (en rouge).

En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général Modèle:Sfrac, où Modèle:Mvar désigne le Modèle:Mvar-ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant : Leonhard Euler a démontré en 1737 que

$\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\dots =+\mathrm{\infty }$,

ce qui renforce à la fois le théorème d'Euclide sur les nombres premiers et celui d'Oresme sur la série harmonique.

Démonstration par l'analyse

La démonstration suivante est due à Paul Erdős.

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel Modèle:Mvar tel que :

$\sum _{n=m+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n}<\frac{1}{2}.$

Définissons $N(x)$ comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à Modèle:Mvar et qui ne sont divisibles que par des nombres premiers parmi les Modèle:Mvar premiers (donc parmi $p_1,p_2,...,p_m$). Un tel entier peut être écrit sous la forme Modèle:Math où Modèle:Mvar est un entier sans facteur carré.

Puisque seulement les Modèle:Mvar premiers nombres premiers peuvent diviser Modèle:Mvar, il y a au plus Modèle:Math choix pour Modèle:Mvar. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus $\sqrt{x}$ valeurs possibles pour Modèle:Mvar, cela nous donne :

$N(x)⩽2^m\sqrt{x}.$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à Modèle:Mvar et divisibles par au moins un nombre premier différent des Modèle:Mvar premiers est égal à $x-N(x)$.

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à Modèle:Mvar et divisibles par Modèle:Mvar est au plus Modèle:Math, nous obtenons :

$x-N(x)⩽\sum _{n=m+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x}{p_n}<\frac{x}{2},$

ou encore

$\frac{x}{2}<N(x)\le 2^m\sqrt{x}.$

Or cette inégalité est fausse pour Modèle:Mvar suffisamment grand, en particulier pour Modèle:Mvar supérieur ou égal à Modèle:Math, d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série :

$\sum _{n⩽x}\frac{1}{n}\le \sum _{r=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{r^2}\prod _{p_n\le x}(1+\frac{1}{p_n})⩽2\prod _{p_n⩽x}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{p_n}}$ donc

$\sum _{p_n⩽x}\frac{1}{p_n}⩾\ln \left(\sum _{n⩽x}\frac{1}{n}\right)-\ln 2$,

ce qui confirme une partie de l'intuition d'Euler : Modèle:Citation bloc

Preuve par un produit eulérien

Connaissant l'équivalent

$\ln \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p}}\right)\sim \frac{1}{p}$ quand $p\to +\mathrm{\infty }$,

il suffit de montrer la divergence de la série de terme général $\ln \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}\right)$, ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des $\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}>1$. Or

$\begin{array}{ccccccc}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}& =& \underset{k\in {\mathbb{N}}^{*}}{\sup }\prod _{n=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}& =& \underset{k\in {\mathbb{N}}^{*},s>1}{\sup }\prod _{n=1}^k\frac{1}{1-p_n^{-s}}& =& \underset{s>1}{\sup }\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p_n^{-s}}\\ & \underset{(1)}{=}& \underset{s>1}{\sup }\zeta (s)& \underset{(2)}{=}& \underset{s>1}{\sup }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que $\sum _{n=1}^N\frac{1}{p_n}\sim f(N):=\ln \ln N$. On pourrait penser que cela implique que $\frac{1}{p_N}\sim f^{\prime }(N)$ et donc que $p_N\sim N\ln N$, mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiers.

Développement asymptotique

Soit Modèle:Mvar un réel positif. Le développement asymptotique à deux termes de la série des inverses des nombres premiers est:

$\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\ln \ln x+M+o(1)$ où $M=\gamma +\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(\log (1-\frac{1}{p_n})+\frac{1}{p_n})$ est la constante de Meissel-Mertens et $\gamma$ la constante d'Euler.

Sommes partielles

Bien que les sommes partielles de la série des inverses des nombres premiers puissent dépasser toute valeur entière, elles ne sont jamais égales à un entier.

Ceci peut se démontrer par récurrence . La première somme partielle est égale à Modèle:Sfrac, qui est de la forme Modèle:Sfrac. Si la Modèle:Mvar-ième somme partielle (pour Modèle:Formule) est de la forme Modèle:Sfrac, alors la Modèle:Formule-ème somme est

$$\frac{\text{impair}}{\text{pair}}+\frac{1}{p_{n+1}}=\frac{\text{impair}\cdot p_{n+1}+\text{pair}}{\text{pair}\cdot p_{n+1}}=\frac{\text{impair}+\text{pair}}{\text{pair}}=\frac{\text{impair}}{\text{pair}}$$

Elle n'est donc pas entière, ce qui achève la récurrence..

On peut aussi réduire l'expression de la somme des Modèle:Mvar premiers inverses de nombres premiers (ou bien la somme des inverses de tout ensemble de nombres premiers) au même dénominateur, qui est le produit de tous ces nombres premiers. Chacun de ces nombres premiers divise tous les termes du numérateur sauf un et ne divise donc pas le numérateur lui-même ; mais chaque nombre premier divise le dénominateur. Ainsi la fraction est irréductible et n'est pas entière.

Annexes

Articles connexes

• Constante de Meissel-Mertens : intervient dans le développement asymptotique de la série divergente étudiée ici
• Théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge

Lien externe

Modèle:En Modèle:Lang, sur le site [[Pages de nombres premiers|Modèle:Lang]] de Chris Caldwell