Hexadécagone

Un hexadécagone (parfois appelé hexakaidécagone) est un polygone à 16 sommets, donc 16 côtés et 104 diagonales.

La somme des angles internes d'un hexadécagone non croisé vaut Modèle:Unité.

L'hexadécagone régulier est constructible.

Nom

Le nom du polygone est formé à partir des préfixes hexa et déca. Hexa provient du grec ancien Modèle:Lang (hex, six) et déca de Modèle:Lang (deca, dix). En grec ancien, seize se dit Modèle:Lang (ekkaideka).

Hexadécagone régulier

Un hexadécagone régulier est un hexadécagone dont les seize côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a quatre : trois étoilés (les hexadécagrammes notés {16/3}, {16/5} et {16/7}) et un convexe (noté {16}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hexadécagone régulier ».

Fichier:Regular polygon 16 annotated.svg

L'hexadécagone régulier convexe et ses angles remarquables.

• Les trois hexadécagones réguliers étoilés
• {16/3} (angle interne : 112,5°)
  {16/3} (angle interne : 112,5°)
• {16/5} (angle interne : 67,5°)
  {16/5} (angle interne : 67,5°)
• {16/7} (angle interne : 22,5°)
  {16/7} (angle interne : 22,5°)

Dimensions

Chaque angle interne de l'hexadécagone régulier mesure $\frac{2520^{\circ }}{16}=157,5^{\circ }$ et chaque angle au centre, $\frac{360^{\circ }}{16}=22,5^{\circ }$.

Si chaque côté de l'hexadécagone mesure Modèle:Math :

• son rayon (c'est-à-dire le rayon de son cercle circonscrit) mesure

$\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{16}\right)}=\frac{a}{2}\sqrt{8+4\sqrt{2}+2\sqrt{20+14\sqrt{2}}}\simeq 2,563a$ ;

• son apothème (c'est-à-dire le rayon de son cercle inscrit) mesure

$\frac{a}{2\tan \left(\frac{\pi }{16}\right)}=\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{4-2\sqrt{2}})\simeq 2,514a$ ;

• son aire mesure

$\frac{4a^2}{\tan \left(\frac{\pi }{16}\right)}=4a^2(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{4-2\sqrt{2}})\simeq 20,109a^2$ ;

• son périmètre mesure $16a$.

Propriétés

16 étant une puissance de 2, l'hexadécagone régulier est, d'après le théorème de Gauss-Wantzel, constructible à la règle et au compas.

Son groupe de symétrie est le groupe diédral D₁₆. Son symbole de Schläfli est {16}.