Intégrale de Dirichlet

L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$.

Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire qu'elle n'est pas absolument convergente ($\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x}\text{d}x=+\mathrm{\infty }$) mais $\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ existe et est finie.

Étude de la convergence

On considère la fonction

$\begin{array}{cccc}f:& {ℝ}_{+}^{*}& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & \frac{\sin x}{x}.\end{array}$

En 0, sa limite à droite vaut 1, donc Modèle:Math est prolongeable en une application continue sur Modèle:Math, si bien qu'elle est intégrable sur Modèle:Math pour tout Modèle:Math.
Mais elle n'est pas intégrable en Modèle:Math, c'est-à-dire que

$\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x=+\mathrm{\infty }$.

Cependant,

$\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{:}$

• Dirichlet, dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternées :

  Modèle:Citation ;

• dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergenceModèle:, ;
• les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence.

Calcul de l'intégrale

Avec des suites

La méthode consiste à poser

$J_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin ((2n+1)x)}{\sin x}\mathrm{d}x,K_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin ((2n+1)x)}{x}\mathrm{d}x$

et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à Modèle:Math, et que la deuxième tend vers l'intégrale de DirichletModèle:,.

Avec le théorème des résidus

En remarquant que Modèle:Math est la partie imaginaire de Modèle:Math et en considérant la fonction complexe Modèle:Math, le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu.

Plus précisément, Modèle:Math admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles ${𝒞}_R$ et ${𝒞}_{\epsilon }$ de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments Modèle:Math et Modèle:Math. Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.

Contour pour l'intégrale de Dirichlet.

Le théorème de Cauchy donne alors

$0=\underset{{𝒞}_R}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z+\underset{U\cup J}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z+\underset{{𝒞}_{\epsilon }}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z=\underset{{𝒞}_R}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z+2\mathrm{i}\underset{\epsilon }{\overset{R}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x+\underset{{𝒞}_{\epsilon }}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z$

d'où, en faisant tendre R vers Modèle:Math et ε vers 0 :

$0=0+2\mathrm{i}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x-\mathrm{i}\pi ,$

ce qui permet de conclure :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.$

On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction Modèle:Math qui se prolonge en une fonction entière. On intègre alors sur le contour constitué du demi-cercle ${𝒞}_R$ et de l'intervalle Modèle:Nobr Par le théorème intégral de Cauchy,

$0=\underset{{𝒞}_R}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-1}{z}\mathrm{d}z+\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-1}{x}\mathrm{d}x=\underset{{𝒞}_R}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z-\underset{{𝒞}_R}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z}+2\mathrm{i}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\underset{{𝒞}_R}{\int }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z-\mathrm{i}\pi +2\mathrm{i}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$

d'où, en faisant tendre R vers Modèle:Math :

$0=0-\mathrm{i}\pi +2\mathrm{i}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$

et l'on conclut comme précédemment.

Avec une transformée de Laplace

On utilise la formule suivante des transformée de Laplace : si $ℒ(f)=F$, alors $ℒ\left[\frac{f(x)}{x}\right]=\underset{p}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}F(u)\mathrm{d}u$.

Ainsi, en utilisant $f=\sin$, d'où $F(p)=\frac{1}{p^2+1}$.

En revenant à la définition de la transformation de Laplace, la propriété admise donne alors

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-px}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\underset{p}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}={[\arctan u]}_p^{+\mathrm{\infty }}=\frac{\pi }{2}-\arctan p$.

En passant à la limite quand $p\to 0$, on obtient $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$.

Avec la « technique de Feynman »

On considère l'intégrale paramétrique $I(y)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}{\mathrm{e}}^{-xy}\mathrm{d}x$ ; on remarque déjà que l'intégrale de Dirichlet correspond à Modèle:Math.

Cette fonction est dérivable et la dérivée vaut :

$\begin{array}{cc}{I}^{\prime }(y)& =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\sin x}{x}{\mathrm{e}}^{-xy}\right)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}(-x){\mathrm{e}}^{-xy}\mathrm{d}x=-\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x){\mathrm{e}}^{-xy}\mathrm{d}x\\ & =-\mathrm{\Im }m\left(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}{\mathrm{e}}^{-xy}\mathrm{d}x\right)=-\mathrm{\Im }m\left(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{(\mathrm{i}-y)x}\mathrm{d}x\right)\\ & =-\mathrm{\Im }m{\left[\frac{1}{\mathrm{i}-y}{\mathrm{e}}^{(\mathrm{i}-y)x}\right]}_{x=0}^{+\mathrm{\infty }}=\mathrm{\Im }m{\left[\frac{\mathrm{i}+y}{1+y^2}{\mathrm{e}}^{(\mathrm{i}-y)x}\right]}_{x=0}^{+\mathrm{\infty }}=-\frac{1}{1+y^2}.\end{array}$

Ainsi, $I(y)=-\arctan (y)+c$, et faire tendre Modèle:Mvar vers l'infini permet d'établir que Modèle:Math. On en déduit que Modèle:Math.

Non convergence absolue de l'intégrale

La convergence de $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x}\text{d}x$ équivaut à celle de la série de terme général positif $u_k=\underset{k\pi }{\overset{(k+1)\pi }{\int }}\frac{|\sin x|}{x}\text{d}x$ ; or d'après la preuve sans mot figurée ci-contre, $u_k⩾\frac{\pi }{2}\frac{1}{k\pi +\pi /2}=\frac{1}{2k+1}$, d'où la divergence de la série donc de l'intégrale.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Borwein
• Formule intégrale de Lobachevski

Bibliographie

• Modèle:Boccara1
• Modèle:Article