Loi d'inertie de Sylvester

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la loi d'inertie de Sylvester, formulée dans le cas réel par James Joseph Sylvester en Modèle:DateModèle:Sfn, est un théorème de classification des formes quadratiques sur un Modèle:Math-espace vectoriel V où Modèle:Math désigne un corps ordonné. À l'aide d'un changement de variables approprié, tout polynôme homogène de Modèle:Nobr à coefficients réels et à n variables peut s'écrire sous la forme d'une somme de carrés, précédés de signes + ou – (cette écriture s'appelle la réduction de Gauss) ; la loi d'inertie dit que le nombre de signes + et le nombre de signes – ne dépendent pas du changement de variable utilisé.

Énoncé

Définitions. L'indice d'inertie (ou plus brièvement l'indice) d'une forme quadratique Q sur un Modèle:Math-espace vectoriel V de dimension finie n est la dimension maximale des sous-espaces F de V tels que $Q(v)<0$ pour tout $v\in F\setminus \{0\}$ (où $<$ désigne la relation d'ordre stricte naturelle sur Modèle:Math).

Soit q l'indice de la forme quadratique Q, et soit p la dimension maximale des sous-espaces G de V tels que $Q(v)>0$ pour tout $v\in G\setminus \{0\}$, autrement dit tels que la restriction de Q à G soit définie positive.

Le couple (p, q) s'appelle la signature de Q.

L'indice d'une forme définie positive est nul ; sa signature est (n, 0). L'indice d'une forme définie négative (c'est-à-dire telle que –Q soit définie positive) est égal à n ; sa signature est (0, n).

Commentaires généraux

• Une retombée de la preuve est le fait que pour $𝕂$ de caractéristique différente de $2$, la réduction de Gauss, quelle que soit la façon dont on s'y prend, donne le même nombre de « carrés positifs » et de « carrés négatifs ».

Commentaires sur le cas réel

On considère maintenant le cas particulier important $𝕂=ℝ$.

• En multipliant les vecteurs d'une base orthogonale par des constantes convenables, on peut supposer se ramener au cas où les $e_i$ tels que $Q(e_i)=0$ vérifient $Q(e_i)=\pm 1$. Par rapport à une telle base, Q s'écrit$-\sum _{i=1}^q{x}_i^2+\sum _{i=q+1}^{q+p}{x}_i^2.$
• En termes de matrices, on a un énoncé équivalent : si Modèle:Math est la matrice de Q dans une base, il existe une matrice inversible Modèle:Math telle que$P^{T}AP=\left(\begin{array}{ccc}-I_q& 0& 0\\ 0& I_p& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$Autrement dit, la matrice de la forme est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, 1 et –1 sur la diagonale ; la classe de congruence est caractérisée par les entiers p et q.
• On peut dire aussi que deux formes quadratiques réelles sont équivalentes si elles ont même rang et même indice d'inertie.
• On a une décomposition orthogonale$V=F\oplus G\oplus \mathrm{rad}(Q)$où
  • Q est définie négative sur F (qui est de dimension q) et définie positive sur G (qui est de dimension p).
  • Cette décomposition n'est pas unique. Elle est déterminée par le choix de F (ou celui de G).
• Ce théorème montre que l'indice d'isotropie total de Q est égal à inf(p, q) + n – r.
  Deux formes quadratiques réelles de même rang et de même indice d'isotropie total sont équivalentes au signe près.
• Compte tenu des contraintes évidentes de dimension $(0\le q\le r\le n)$, il y a $(n+1)(n+2)/2$ classes d'équivalence de formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension n.

Exemples

• La forme quadratique$Q(x,y,z,t)=c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2,$associée à un espace de Minkowski en relativité restreinte, a pour rang 4 et pour signature (1, 3).
• Puisque $4(xy+yz+zt+xt)=(x+y+z+t{)}^2-(x+z-y-t{)}^2,$la forme Q(x, y, z, t) = 4(xy + yz + zt + xt) est de rang 2 et a pour signature (1, 1) et pour indice 1.
• Sur l'espace des matrices réelles 2×2, le déterminant est une forme quadratique de signature (2, 2). En effet, pour a, b, c, d réels on a

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc=\frac{1}{4}(a+d{)}^2-\frac{1}{4}(a-d{)}^2-\frac{1}{4}(b+c{)}^2+\frac{1}{4}(b-c{)}^2.$

Cette forme quadratique peut être restreinte à des sous-espaces particuliers, ce qui permet de construire des isomorphismes « exceptionnels » entre groupes de Lie de petit rang.

• Sur l'espace ${𝔰𝔩}_2(ℝ)$ des matrices réelles 2×2 de trace nulle, l'opposé du déterminant est une forme quadratique de signature (2, 1). En effet, une telle matrice est de la forme

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$ avec a, b, c réels, et $-\det A=a^2+bc=a^2+\frac{1}{4}(b+c{)}^2-\frac{1}{4}(b-c{)}^2$.

Le groupe ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ agit par conjugaison sur ${𝔰𝔩}_2(ℝ)$ car la conjugaison préserve la trace. Cette action préserve le déterminant et induit un morphisme ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)\to {\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(2,1)$ qui se trouve être un isomorphisme.

• Sur l'espace $𝒜$ des matrices réelles 2×2 anti-hermitiennes (matrices A telles que $\bar{A}{}^{𝖳}=-A$) et de trace nulle, le déterminant est une forme quadratique de signature (3, 0). En effet, une telle matrice est de la forme

$A=\left(\begin{array}{cc}a\mathrm{i}& b+c\mathrm{i}\\ -b+c\mathrm{i}& -a\mathrm{i}\end{array}\right)$ avec a, b, c réels, et $\det A=a^2+b^2+c^2$.

Comme $𝒜$ est l'algèbre de Lie du groupe ${\mathrm{S}\mathrm{U}}_2(ℂ)$, l'action par conjugaison de ce groupe sur son algèbre de Lie, qui préserve le déterminant, permet de construire un morphisme ${\mathrm{S}\mathrm{U}}_2(ℂ)\to {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(ℝ)$ qui se trouve être le revêtement universel du groupe des rotations de l'espace.

Remarques diverses

Relation avec les valeurs propres

On peut déterminer directement la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice de cette forme, M. En effet, M est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base qui vérifie les conditions du théorème précédent ; on en déduit que le rang de M, et donc de Q, est le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que q est le nombre des valeurs propres de M strictement négatives.

À propos de la terminologie

Concernant l'indice et la signature, plusieurs terminologies coexistent dans la communauté scientifique. Cela est rappelé en note pour l'indice. Certains auteurs appellent signature l'entier relatif p-q (différence des dimensions entre les sous-espaces "positifs" et "négatifs" maximaux).

Applications

Calcul différentiel

Modèle:Article détaillé Soit f une fonction [[Classe de régularité|CModèle:2]] sur ℝModèle:Exp, dont la différentielle s'annule en 0. Supposons que la forme quadratique définie par la matrice hessienne soit non dégénérée d'indice e. Alors il existe un sous-espace vectoriel Modèle:Math de dimension e tel que la restriction de f à Modèle:Math admette un maximum local strict en 0. De plus, e est la dimension maximale d'un sous-espace ayant cette propriété.

Il existe de même un supplémentaire Modèle:Math de Modèle:Math tel que la restriction de f à Modèle:Math admette un minimum local strict en 0.

Grosso modo, l'indice mesure ici la non-minimalité en un point critique.

Ces propriétés subsistent sur les variétés différentielles. Elles sont à la base de la théorie de Morse.

Géométrie

Modèle:Article détaillé Soit Modèle:Math une forme quadratique sur ℝModèle:3. La surface d'équation Modèle:Math = 1 est homéomorphe (et même difféomorphe) à :

• la sphère Modèle:Math si Modèle:Math est définie positive.
• Modèle:Math × ℝ si Modèle:Math est de signature (2, 1) (hyperboloïde à une nappe).
• Modèle:Math × ℝModèle:2 = {–1, 1} × ℝModèle:2 si Modèle:Math est de signature (1, 2) (hyperboloïde à deux nappes).

Le mot nappe désigne ce qu'on appelle aujourd'hui composante connexe.

Plus généralement, si Modèle:Math est une forme quadratique sur ℝModèle:Exp de signature (p, q), l'hypersurface d'équation Modèle:Math = 1 est homéomorphe (et même difféomorphe) à Modèle:Math × ℝModèle:Exp.

Exemple. Sur l'espace vectoriel des matrices réelles (2,2), le déterminant est une forme quadratique de signature (2,2). Par conséquent, le groupe spécial linéaire SL(2, ℝ) est homéomorphe à Modèle:Math × ℝModèle:Exp

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Berger2, Nathan, Paris, 1990, tome 2, 13.4.7
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article, Modèle:Abréviation discrète dans :
  • Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Matrice définie positive
• Matrice de passage
• Modèle:Page h
• Modèle:Lien

Lien externe

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