Mesure spectrale

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, une mesure spectrale est une application définie sur une tribu à valeurs dans l'espace des projections orthogonales d'un espace hilbertien et vérifiant des axiomes semblables à ceux qui définissent les mesures positives. Les mesures spectrales sont utilisées pour exprimer des résultats en théorie spectrale, tels que le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints.

Les mesures spectrales ont des propriétés similaires aux mesures réelles positives.

Définition formelle

Soit $(X,𝒜)$ un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble $X$ muni d'une tribu $𝒜$. Une mesure spectrale, aussi appelée homorphisme spectral, est une application $\phi$ définie sur l'algèbre $ℳ$ des fonctions complexes mesurables bornées sur $X$ ayant les propriétés suivantes :

1. $\phi$ est un morphisme involutif de l'algèbre $ℳ$ dans l'algèbre involutive des opérateurs bornés dans un espace hilbertien $ℌ$
2. Si $\xi \in ℌ$, alors la fonction d'ensemble

$\nu (E)=⟨\phi (E)\xi \mid \xi ⟩$

est une mesure à valeurs complexes.

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