Lemme de Poincaré

Modèle:Ébauche Modèle:Confusion Le lemme de Poincaré est un résultat fondamental en analyse à plusieurs variables et en géométrie différentielle. Il concerne les formes différentielles (implicitement de [[Classe de régularité|classe Modèle:Math]]) sur une variété différentielle (implicitement lisse).

D'après le théorème de Schwarz, toute forme différentielle exacte est fermée. Le lemme de Poincaré assure une réciproque partielle : Modèle:Énoncé Sous ces hypothèses, la conclusion du lemme de Poincaré se reformule en termes de cohomologie de De Rham.

En particulier, toute forme différentielle fermée est localement exacte.

Notions en jeu

Toutes les notions employées ci-dessus sont détaillées via les liens internes, mais rappelons et commentons les principales.

Une p-forme Modèle:Math sur une variété M est dite :

• fermée si sa dérivée extérieure est nulle : Modèle:Math ;
• exacte si Modèle:Math est une dérivée extérieure : Modèle:Math pour une (p – 1)-forme Modèle:Math, dite primitive de Modèle:Math.

Le p-ième espace de cohomologie de De Rham de M est le quotient HModèle:Exp(M) de l'espace des formes fermées par le sous-espace des formes exactes. Il est donc nul si et seulement si toute forme fermée est exacte.

Un espace topologique M est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point, c'est-à-dire si son application identité est homotope à une application constante de M dans M, ou encore si M se rétracte par déformation sur un point. C'est une condition plus forte que la trivialité de tous les groupes d'homotopie de M, mais équivalente si M est une variété différentielle. De plus, dans ce cas, les homotopies invoquées, a priori seulement continues, peuvent en fait être choisies lisses.

Tout espace contractile est simplement connexe mais il existe des variétés simplement connexes non contractiles, comme la sphère. Une variété compacte sans bord n'est d'ailleurs jamais contractile.

Démonstration pour une 1-forme sur un ouvert étoilé de ℝModèle:Exp

Tout ouvert Modèle:Math de [[Espace euclidien|ℝModèle:Exp]] est une variété différentielle. Si Modèle:Math est étoilé alors il est contractile et a fortiori simplement connexe. Montrons, dans ce cas particulier, que toute 1-forme fermée Modèle:Math sur Modèle:Math est exacte, c'est-à-dire qu'elle est la différentielle d'une 0-forme (une fonction).

Supposons que Modèle:Math est étoilé autour de Modèle:Math, définissons une fonction Modèle:Math sur Modèle:Math par des intégrales curvilignes sur des segments :

$f(x)=\underset{[a,x]}{\int }\omega ,$

et montrons que Modèle:Math en tout point Modèle:Math de Modèle:Math, c'est-à-dire que (pour Modèle:Math fixé et pour tout Modèle:Math dans une boule de centre Modèle:Math incluse dans Modèle:Math) :

$f(x+v)-f(x)={\omega }_x(v)+o(v).$

D'après le théorème de Green appliqué au triangle Modèle:Math, on a (puisque Modèle:Math est fermée)

$f(x+v)-f(x)=\underset{[x,x+v]}{\int }\omega =\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\omega }_{x+tv}\mathrm{d}t\right)(v).$

Or [[Intégrale paramétrique#Limite|par continuité de Modèle:Math au point Modèle:Math]],

$\underset{v\to 0}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\omega }_{x+tv}\mathrm{d}t={\omega }_x.$

On a donc bien :

$f(x+v)-f(x)=({\omega }_x+\epsilon (v))(v)={\omega }_x(v)+o(v).$

(Pour étendre cette démonstration à une variété simplement connexe quelconque, il suffit de remplacer les segments par des chemins et le théorème de Green par celui de Stokes.)