Triplet pythagoricien

Animation illustrant le plus simple triplet pythagoricien : 3² + 4² = 5².

En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet $(a,b,c)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : $a^2+b^2=c^2$. Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5).

À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers $a,b,c$, forcément rectangle d’hypoténuse $c$, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers $a,b$, et de diagonale entière $c$.

Historique

Tablette Plimpton 322.

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonterait à la tablette Plimpton 322, un document écrit vers Modèle:Date dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciensModèle:,.

Mais les spécialistes ne sont pas tous d'accord, et d'autres interprétations de la tablette ont été proposées.

Pythagore, au Modèle:S- avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus de Lycie, au Modèle:S- de notre ère, dans son commentaire sur le livre I des Éléments d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui $(2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1)$, où $n$ est un entier strictement positif.

Toujours d'après Proclus, Platon connaissait une deuxième famille infinie de triplets pythagoriciens : $(n^2-1,2n,n^2+1)$.

Cas général

Les deux formules connues des Grecs montrent qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens et que tout entier $⩾3$ fait partie d'un tel triplet (la première formule faisant intervenir $2n+1$ et la deuxième $2n$).

Voici un théorème donnant une formule générant l'ensemble de ces triplets.

La démonstration classique utilise une paramétrisation rationnelle du cercle unité : Modèle:Démonstration

Cas des triplets primitifs

Un triplet pythagoricien $(a,b,c)$ est dit « primitif » si les trois entiers $a,b$ et $c$ sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Il existe une infinité de triplets primitifs Modèle:Infra. Les 16 premiers par ordre croissant de c, avec $a<b$, sont ceux dont les trois termes sont inférieurs à 100 : Modèle:Colonnes

Ces triplets mis bout à bout forment la Modèle:OEIS.

Tout triplet pythagoricien $(a,b,c)$ est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de $(a,b,c)$.

Si l'on divise par $c^2$, on obtient : Modèle:Centrer Autrement dit, les triplets pythagoriciens primitifs correspondent biunivoquement aux points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$.

Théorème fondamental décrivant tous les triplets primitifs

Si $(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien primitif alors $(b,a,c)$ aussi, et soit a soit b est impair, ces deux cas étant exclusifs. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets. Modèle:Énoncé

Remarques :

• La famille $(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)$ était connue d'Euclide.
• Pour un triplet primitif (a, b, c) avec a impair, le couple (p, q) est unique : $p=\sqrt{\frac{a+c}{2}},q=\sqrt{\frac{c-a}{2}}$.
• Le cas $q=1$ et p pair implique que tout nombre multiple de 4 : $2p⩾4$ fait partie d'au moins un triplet primitif : $(p^2-1,2p,p^2+1)$ (famille "de Platon" donnée ci-dessus).
• En posant $m=p+q$ et $n=p-q$, une reformulation de ce théorème est :

• Le cas $n=1$ implique que tout nombre impair $m⩾3$ fait partie d'au moins un triplet primitif : $(m,(m^2-1)/2,(m^2+1)/2)$ (famille équivalente à celle de Pythagore donnée ci-dessus).

Propriétés d'un triplet pythagoricien primitif

Un triplet primitif $(a,b,c)$ avec $a$ impair, $a=p^2-q^2,b=2pq,c=p^2+q^2$ donnés par le théorème précédent possède les propriétés suivantes :

Triangle rectangle (ABC) associé au triplet (a,b,c)

Triangle (3, 4, 5) avec son cercle inscrit de rayon 1.

• b est multiple de 4 (donc aucun entier de la forme Modèle:Nowrap n'appartient à un triplet pythagoricien primitif) ;
• un entier exactement parmi a et b est multiple de 3 ;
• un entier exactement parmi a, b et c est multiple de 5 ;
• la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle associé, $h=ab/c$, n'est pas entière ;
• l'aire du triangle associé $S=ab/2$ (qui est par définition un nombre congruent) n'est pas un carré : c'est le théorème de Fermat sur les triangles rectangles ;
• il existe des triplets où a et c sont premiers, comme (5, 12, 13), mais on ne sait pas s'il en existe une infinité (cf. la Modèle:OEIS) ;
• les facteurs premiers de c sont de la forme Modèle:Nowrap, donc c également, comme pour toute somme impaire de deux carrés premiers entre eux ;
• réciproquement tout produit de nombres premiers de la forme Modèle:Nowrap est le troisième terme d'un triplet pythagoricien primitif (cf. la Modèle:OEIS) ;
• $\frac{c-a}{2}=q^2$ et $c-b=(p-q{)}^2$ sont des carrés ;
• la réciproque de la propriété précédente est fausse comme le montre le triplet Modèle:Nobr : (Modèle:Mvar)/2 et Modèle:Mvar sont des carrés alors que (1, 8, 9) n'est pas un triplet pythagoricien ;
• au plus l'un des trois nombres a, b, c est un carré ;
• les entiers a, b et c ne peuvent être simultanément des puissances n-ièmes avec $n⩾2$ (conséquence du grand théorème de Fermat)
• les entiers p et q s'interprètent dans le triangle associé par la formule $\tan \frac{B}{2}=\frac{q}{p}$, puisque $\tan B=\frac{2pq}{p^2-q^2}$ (voir figure ci-contre) ; $\tan \frac{A}{2}=\frac{p+q}{q-p}=\frac{m}{n}$ ;
• le rayon du cercle inscrit est l'entier $r=\frac{ab}{a+b+c}=q(p-q)$ ; les rayons des trois cercles exinscrits sont les entiers $r_A=\frac{ab}{-a+b+c}=p(p-q)$, $r_B=\frac{ab}{a-b+c}=q(p+q)$ et $r_C=\frac{ab}{a+b-c}=p(p+q)$ ; par exemple pour le triplet Modèle:Nobr, Modèle:Nobr et Modèle:Nobr ; les rayons successifs sont Modèle:Nobr ;
• le diamètre du cercle circonscrit est égal à c.

Génération algébrique et géométrique

Arbre de Berggren de construction des triplets pythagoriciens primitifs.

Berggren a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3, 4, 5) par application répétée de ${ℛ}_1$, ${ℛ}_2$ et ${ℛ}_3$, avec :

selon la règle Modèle:Retrait De plus, cette décomposition est unique.

Géométriquement, le produit de ${ℛ}_i$ par un triplet $(a,b,c)$ correspond à la construction $\mathrm{\Phi }\circ {𝒮}_i$ effectuée pour le point $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$, où :

• ${𝒮}_1$ est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
• ${𝒮}_2$ est la symétrie de centre O ;
• ${𝒮}_3$ est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
• et Φ est l'application du cercle unité $\mathcal{(}C)$ dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de $\mathcal{(}C)$ avec la droite passant par M et P(1,1).

Exemples

• $\left(\begin{array}{c}77\\ 36\\ 85\end{array}\right)={ℛ}_3\circ {ℛ}_2\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$
• $\left(\begin{array}{c}85\\ 132\\ 157\end{array}\right)={ℛ}_1\circ {ℛ}_3\circ {ℛ}_3\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$

Moyennes du nombre de triplets pythagoriciens

Le nombre $N_c(n)$ de triplets pythagoriciens primitifs de troisième terme inférieur ou égal à $n$ est répertorié comme Modèle:OEIS, et Derrick Norman Lehmer a montré en 1900 que lorsque $n$ tend vers l'infini, $N_c(n)\sim \frac{n}{2\pi }$ ; d'où un nombre moyen de tels triplets de troisième terme donné égal à $\frac{1}{2\pi }\approx \frac{1}{6}$ ; voir la Modèle:OEIS.

Le nombre $N_s(n)$ de tels triplets de somme inférieure ou égale à $n$ est répertorié comme Modèle:OEIS, et Lehmer a montré que $N_s(n)\sim \frac{\ln 2}{{\pi }^2}n$, d'où un nombre moyen de $\frac{\ln 2}{{\pi }^2}\approx \frac{2}{3}$ ; voir la Modèle:OEIS.

Applications

Corde à treize nœuds

Modèle:Article détaillé Le triplet (3, 4, 5) intervient dans la corde à treize nœuds comportant 12 intervalles formant trois côtés de longueur 3, 4 et 5 et permettant d'obtenir un angle droit :

Carrés en progression arithmétique

Les triplets pythagoriciens $(a,b,c),a<b$ sont en bijection naturelle avec les triplets $(x^2,y^2,z^2)$ de carrés non nuls en progression arithmétique (vérifiant $y^2-x^2=z^2-y^2>0$, soit $x^2+z^2=2y^2,x<z$).

On passe de $(a,b,c)$ à $(x,y,z)$ en posant $x=b-a,y=c,z=a+b$, et en sens inverse en posant $a=\frac{z-x}{2},b=\frac{z+x}{2},c=y$.

En effet $a^2+b^2=c^2\iff (b-a{)}^2+(a+b{)}^2=2c^2$.

Par exemple, le triplet $(3,4,5)$ donne la progression $(1^2=1<5^2=25<7^2=49)$ de raison 24, et le triplet $(9,40,41)$ fournit la progression $31^2<41^2<49^2$ qui était connue de Diophante.

La raison de la progression est égale à $2ab$, soit le quadruple de l'aire du triangle de Pythagore associé. Cette raison ne peut donc être un carré d'après le théorème de Fermat sur les triangles rectangles.

Fermat a conjecturé en 1640 qu'on ne peut trouver quatre carrés distincts en progression arithmétique, ce qui a été démontré par Euler en 1780. Une démonstration par Jean Itard utilise les deux triplets pythagoriciens associés à une telle progression arithmétique et conclut par descente infinieModèle:,. Voir aussi cette référence :.

Problèmes de coloration

Modèle:Article général On peut considérer l'ensemble des entiers naturels comme un graphe dont les sommets sont les nombres et tels que les sommets reliés par une arête soient ceux qui font partie d'un même triplet pythagoricien.

Dès lors, on se demande s'il est possible de colorier le graphe de telle sorte que les éléments d'un même triplet ne soient pas tous de la même couleurModèle:,.

En d'autres termes on cherche à colorier le graphe de façon qu'il n'existe pas de 3-clique monochrome. Ce problème a initialement été posé par Paul Erdős et Ronald Graham.

En se limitant à deux couleurs il a été montré en 2016, et vérifié en 2019 grâce à Rocq, qu'il n'est possible d'aller que jusqu'aux 7824 premiers entiersModèle:,.

En utilisant trois couleurs différentes, il existe un coloriage admissible pour les 11066 premiers entiers mais au-delà le problème reste ouvert.

Une visualisation des triplets pythagoriciens

Visualisation des triplets associée à la fonction carré.

Nuage de points de tous les couples d'entiers $(a,b)$ tels que $(a,b,\sqrt{a^2+b^2})$ soit pythagoricien avec $a$ et $b$ inférieurs à Modèle:Nombre.

La fonction complexe $z\mapsto z^2$ laisse stable l'anneau Z[[[:Modèle:Math]]] des entiers de Gauss. À chaque point de l'image de Z[[[:Modèle:Math]]] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet, $(p+q\mathrm{i}{)}^2=p^2-q^2+2pq\mathrm{i}$, et $(p^2-q^2{)}^2+(2pq{)}^2=(p^2+q^2{)}^2$. Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens et une explication de la présence des paraboles dans le nuage de points ci-contre. Modèle:Clr

Illustration du triplet (3, 8, 7).

Problème connexe : les triplets d'Eisenstein

Portant le nom de Gotthold Eisenstein, en référence aux entiers d'Eisenstein, les Modèle:Lien sont des triplets vérifiant la relation suivante :

Modèle:ThéorèmeNotons que les triangles correspondant au cas (a) sont les triangles entiers dont les angles sont en progression arithmétique car

$\hat{A}+\hat{B}=2\hat{C}\iff 180^{\circ }-\hat{C}=2\hat{C}\iff \hat{C}=60^{\circ }$

.

Illustration du triplet (3,5,7).

On peut donner une version algébrique de cette définition grâce au théorème d'Al-Kashi (aussi appelé « loi des cosinus »), qui est une généralisation du théorème de Pythagore. Ce théorème relation relie la longueur d'un côté $c$ d'un triangle aux longueurs $a$ et $b$ de ses deux autres côtés et au cosinus de l'angle $\hat{C}$ qu'ils forment : $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \hat{C}$.

Ainsi, avec $a,b,c$ des entiers nommés comme dans la définition ci-avant, et pour un angle de 60° ou 120° (dont le cosinus vaut respectivement $\frac{1}{2}$ ou $-\frac{1}{2}$), l'égalité vérifiée sera respectivement : $c^2=a^2+b^2-ab$ ou $c^2=a^2+b^2+ab$.

Par analogie avec la recherche de triplets pythagoriciens, qui revient à rechercher les entiers de Gauss dont la norme est un carré parfait, la recherche de triplets d'Eisenstein revient à chercher des entiers d'Eisenstein, $z=a+b\omega$ où $\omega =\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}/3}$, dont la norme $|a+b\omega {|}^2$ est un carré parfait.

Des triplets connus sont par exemple (la liste est non exhaustive) :

• Pour 60° : (3 , 8 , 7), (5 , 8 , 7), (5, 21, 19), (7, 15, 13), (7, 40, 37), (8 , 15 , 13), (9, 24, 21) : voir la Modèle:OEIS.
• Pour 120° : (3 , 5 , 7), (5 , 16 , 19), (7 , 8 , 13), (7, 33, 37), (9, 56, 61), (11, 24, 31) : voir la Modèle:OEIS

Voir aussi

• Le dernier théorème de Fermat montre que de tels triplets n'existent pas quand l'exposant de a, b, c est un entier supérieur ou égal à 3.
• Le théorème de Niven
• Les triplets de Markov
• Les briques d'Euler
• Graphe diophantien d'Erdös