Rapidité (relativité)

Modèle:Voir homonymes En relativité restreinte, la rapiditéModèle:SfnModèle:,Modèle:Note ou pseudo-vitesseModèle:SfnModèle:,Modèle:Note est une mesure du mouvement. À faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont égales (au coefficient multiplicateur [[vitesse de la lumière|Modèle:Mvar]] près), mais contrairement à la vitesse qui tend asymptotiquement vers la vitesse de la lumière, la rapidité continue à augmenter linéairement à l'infini. L'intérêt de la rapidité vient du fait que, de par son caractère linéaire, elle préserve la relation de la mécanique classique entre vitesse et accélération (un voyageur peut donc calculer sa rapidité en intégrant dans le temps, une mesure fournie par un accéléromètre). La rapidité permet aussi d'exprimer les transformations de Lorentz comme rotation hyperbolique dans l'espace de Minkowski.

La rapidité est une quantité sans dimensionModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

La rapidité est rarement utilisée dans les calculs car elle est moins pratique que la quadrivitesse dans les formules d'invariance de l'impulsion. De plus, elle nécessite de choisir un référentiel qui isole le vecteur vitesse ou de la différence des vitesses sur un seul axe.

Définition

La rapidité $\phi$ d'un objet par rapport à un référentiel galiléen est l'argument hyperbolique défini parModèle:Sfn :

$\phi =\mathrm{artanh}\left(\frac{v}{c}\right)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}\right)$

ou parModèle:Sfn :

$\phi =\mathrm{arcosh}\left(\gamma \right)=\ln (\gamma +\sqrt{{\gamma }^2-1})$

où :

• Modèle:Mvar est la vitesse dans ce référentiel ;
• Modèle:Mvar la vitesse de la lumière ;
• Modèle:Mvar est le facteur de LorentzModèle:Sfn ;
• Modèle:Math la fonction réciproque de la tangente hyperbolique ;
• Modèle:Math est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique ;
• Modèle:Math est la fonction logarithme népérien.

Détails

Soit un corps se déplaçant à la vitesse $w$ par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse $v$ par rapport à un autre référentiel R', en supposant que $\overrightarrow{w}//\overrightarrow{v}$. La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est $w^{\prime }$, calculée par :

$w^{\prime }=\frac{w+v}{1+\frac{wv}{c^2}}$.

En posant $\frac{w}{c}=\tanh \left(\theta \right),\frac{w^{\prime }}{c}=\tanh \left({\theta }^{\prime }\right),\frac{v}{c}=\tanh \left(\phi \right),$ on obtient, avec l'hypothèse que $\overrightarrow{w}//\overrightarrow{v}$ et avec les formules de trigonométrie hyperbolique :

${\theta }^{\prime }=\theta +\phi$.

Histoire

La rapidité est une des notions introduites dès Modèle:DateModèle:Sfn par Hermann Minkowski (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:Sfn. Mais celui-ci préfère employer le produit Modèle:Formule plutôt que Modèle:FormuleModèle:Sfn. Le produit Modèle:Formule est aussi employé en Modèle:Date par Arnold Sommerfeld (Modèle:Date--Modèle:Date-) afin de réduire les transformations de Lorentz spéciales à de la trigonométrie ordinaire au moyen des angles imaginairesModèle:Sfn. En Modèle:Date, la rapidité apparaît chez Vladimir Varićak (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn et Edmund T. Whittaker (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:Sfn. Le terme « rapidité » a été proposé en Modèle:DateModèle:Sfn par Alfred A. Robb (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:Sfn.

Bibliographie

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
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• James H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions (1968). Modèle:2e avec exercices corrigés (1979) Modèle:ISBN. Réédité par Masson (Dunod - Modèle:3e - 1997), Modèle:ISBN.
• Notes de coursModèle:Pdf du professeur J.M. Raimond du Département de Physique de l’Ecole normale supérieure(ENS), Modèle:Nobr.

Manuels d'enseignement supérieur

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Dictionnaires et encyclopédies

• Modèle:Chapitre).