Équation biharmonique

Modèle:Ébauche En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction Modèle:Mvar s'écrit :

${\mathrm{\nabla }}^4\phi ={\mathrm{\Delta }}^2\phi =0$

où Modèle:Math est l'opérateur nabla et Modèle:Math l'opérateur laplacien. L'opérateur Modèle:Math est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.

Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :

$\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^4}+\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^4}+\frac{{\partial }^4\phi }{\partial z^4}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^2\partial y^2}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^2\partial z^2}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^2\partial z^2}=0.$

Dans un espace euclidien de dimension Modèle:Mvar, la relation suivante est toujours vérifiée :

${\mathrm{\nabla }}^4\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{3(15-8n+n^2)}{r^5}$

avec Modèle:Mvar la distance euclidienne :

$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$.

ce qui, pour Modèle:Math, est solution de l'équation biharmonique.

Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.

L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit :

${\mathrm{\Delta }}^2\phi =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \phi }{\partial r}\right)\right)\right)+\frac{2}{r^2}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial r^2\partial {\theta }^2}+\frac{1}{r^4}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial {\theta }^4}-\frac{2}{r^3}\frac{{\partial }^3\phi }{\partial {\theta }^2\partial r}+\frac{4}{r^4}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\theta }^2}=0.$

La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la Modèle:Lien.

Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien. ${\mathrm{\Delta }}^{2}u=u_{i+2,j}+u_{i-2,j}+u_{i,j+2}+u_{i,j-2}+2(u_{i+1,j+1}+u_{i+1,j-1}+u_{i-1,j+1}+u_{i-1,j-1})-8(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1})+20u_{i,j}$

Voir aussi

Liens internes

• Fonction harmonique
• Opérateur bilaplacien

Liens externes

• Modèle:Mathworld

Bibliographie

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. Modèle:ISBN.
• S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. Modèle:ISBN.
• J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987. Modèle:ISBN.