Anneau de décomposition universel

En mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie des anneaux commutatifs, un anneau de décomposition universel, ou bien une A-algèbre de décomposition universelle, d'un polynôme P non nul à coefficients dans un anneau A, est un anneau contenant A sur lequel P est scindé, et qui satisfait, relativement à cette décomposition, une propriété universelle au sens de la théorie des catégories.

Quel que soit l'anneau commutatif A et le polynôme unitaire P, on peut toujours construire un anneau de décomposition universel de P sur A, et ce dernier est unique à une identification près.

Si A est un corps, l'anneau de décomposition universel de P n'est pas, en général, isomorphe au corps de décomposition de P.

Définitions et remarques

Dans cet article, A désigne un anneau commutatif, et P un polynôme unitaire sur A de degré n ≥ 0.

• Supposons que B est un anneau commutatif contenant A comme sous-anneau. S'il existe xModèle:Ind, ... xModèle:Ind dans B tels que

$P(X)=(X-x_1)\cdots (X-x_n),$

on dit que P est scindé dans B, et par abus dans cet article, que Modèle:Nobr est un scindage de P dans B. Si P est constant, il est, par convention, scindé dans A de scindage vide.

• Si Modèle:Nobr' est un autre anneau commutatif et ρ est un homomorphisme de A dans Modèle:Nobr, on note PModèle:Exp le polynôme à coefficients dans Modèle:Nobr obtenu en appliquant ρ aux coefficients de P.

• On dénote par 𝒞 la catégorie des objets Modèle:Nobr où:

- B est un anneau commutatif,

- P est un polynôme à coefficients dans B,

- (xModèle:Ind, ... xModèle:Ind) est un scindage de P dans B,

- les morphismes entre deux objets Modèle:Nobr et Modèle:Nobr sont les homomorphismes d'anneaux Modèle:Nobr tels que PModèle:Ind = PModèle:IndModèle:Exp et yModèle:Ind = φ(xModèle:Ind) pour tout i,

- O est le foncteur «oubli» qui associe B à Modèle:Nobr et maintient les morphismes de 𝒞 .

Définition : Un anneau de décomposition universel D de P sur A est un anneau contenant A (à une identification près) et des éléments Modèle:Nobr tels que

• P = Modèle:Nobr,
• pour tout homomorphisme ρ de A dans un anneau commutatif B, si PModèle:Exp admet un scindage Modèle:Nobr dans B, alors il existe un unique homomorphisme étendant ρ à D et tel que ρ(xModèle:Ind) = yModèle:Ind. En d'autre terme, il existe un unique 𝒞-morphisme φ de Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr dont l'image par O étend ρ à D .

Si ces propriétés sont remplies, on dit que Modèle:Nobr est une décomposition universelle de P sur A (et par abus dans cet article, que Modèle:Nobr est un scindage universel de P sur A).

L'anneau de décomposition universel de P sur A est souvent noté AModèle:Ind.

Cette définition est bien universelle dans le sens de la théorie des catégories ; en effet, en notant Ob1 = Modèle:Nobr et Ob2 = Modèle:Nobr, on a l'injection canonique i de A dans D = Modèle:Nobr et l'homomorphisme ρ de A dans B = Modèle:Nobr. L'existence d'un unique morphisme φ entre Ob1 et Ob2 tel que Modèle:Nobr étende ρ correspond aux conditions requises pour une propriété universelle:

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{1}=(D,P,(x_i))& \stackrel{\phi }{---\to }& \mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{2}=(B,P^{\rho },(y_i))& & & A\stackrel{i}{⟶}D=O(\mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{1})\\ & & & & & \rho \downarrow \swarrow \tilde{\rho }=O(\phi )\\ & & & & & B=O(\mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{2})\end{array}$

Propriété: Si D est un anneau de décomposition universel pour le scindage Modèle:Nobr de P, alors c'est un anneau de décomposition universel pour le scindage Modèle:Nobr de P, quelle que soit la permutation σ des indices 1,2, ..., n. En effet, si B est un anneau dans lequel PModèle:Exp admet le scindage Modèle:Nobr, alors Modèle:Nobr est encore un scindage de PModèle:Exp dans B, donc il existe un unique morphisme de Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr. Ce dernier est l'unique morphisme de Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr.

Théorèmes de structure

Avec les notations précédentes, écrivons

$P=X^n+\sum _{k=1}^n(-1{)}^k{a}_{n-k}{X}^{n-k},$

et notons sModèle:Ind le k-ième polynôme symétrique élémentaire en les variables XModèle:Ind, ..., XModèle:Ind.

1. Il existe un anneau de décomposition universel D de P sur A, unique à une identification près ;
2. si (xModèle:Ind, ..., xModèle:Ind) est une décomposition universelle de P dans D, l'anneau D est un A-module libre de rang n!, dont une base est formée des monômes Modèle:Nobr tels que Modèle:Nobr pour tout i ;
3. à un isomorphisme près, D est l'anneau Modèle:Nobr, où ℐ est l'idéal engendré par les éléments rModèle:Ind = Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr, avec Modèle:Nobr. Les xModèle:Ind s'identifient alors aux XModèle:Ind + ℐ;
4. les racines xModèle:Ind, ... xModèle:Ind sont distinctes, sauf si la caractéristique de A est 2 et P = Modèle:Nobr, auquel cas P a une unique racine double.

On peut donner une démonstration de ce théorème en utilisant directement des théorèmes de structure des algèbres de polynômes symétriques (Bourbaki). Dans la boite déroulante ci-après, on construit D récursivement en montrant les assertion (1) et (2) du théorème, puis on en déduit la forme précise (3) de D.

Modèle:Démonstration/début Démonstration des numéros (1) et (2) :

Existence : Si deg(P) = 0, l'anneau A (dans lequel P est scindé par convention) satisfait trivialement aux conditions requises. Supposons le théorème démontré pour tout anneau A et tout polynôme sur A de degré au plus Modèle:Nobr (n ≥ 1). Soient P ∈ Modèle:Nobr avec deg(P) = n ≥ 1.

Soient XModèle:Ind une indéterminée, ℐ l'idéal principal engendré par Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr et R = Modèle:Nobr. Comme P est unitaire de degré > 0, les éléments non nuls de ℐ sont tous de degré ≥ n > 0, donc l'intersection de A avec ℐ se réduit à Modèle:Nobr. Il s'ensuit que R est un anneau commutatif contenant A à une identification près. Soit xModèle:Ind la classe de XModèle:Ind dans R. À l'aide de la division euclidienne, on vérifie sans peine que Modèle:Nobr est une partie génératrice de R sur A. Comme les éléments non nuls de ℐ sont de degré ≥ n, cette partie est aussi libre, sans quoi, un polynôme non nul de degré < n appartiendrait à ℐ, noyau de la surjection canonique. Ainsi R est un A module libre de rang n, dont une base est 1, xModèle:Ind, ..., xModèle:IndModèle:Exp .

Dans R, xModèle:Ind est une racine de P, donc la division euclidienne de Modèle:Nobr par Modèle:Nobr (licite car ce diviseur est unitaire en X), mène à Modèle:Nobr = Modèle:Nobr, avec Q ∈ Modèle:Nobr, Q unitaire, et Modèle:Nobr = Modèle:Nobr.

On applique l'hypothèse d'induction avec Q à la place de P et R à la place de A : il existe un anneau de décomposition universel Modèle:Nobr de Q sur R, qui est aussi un R-module libre de rang Modèle:Nobr, et dont une base est formée des monômes Modèle:Nobr tels que Modèle:Nobr pour tout i. Par la loi de composition des bases dans les modules libres, on en conclu que Modèle:Nobr' est encore un A module libre de rang n!, dont la base est précisée dans l'énoncé du théorème.

On va maintenant montrer que Modèle:Nobr est un anneau de décomposition universel de P sur A.

D'abord, il est clair que Modèle:Nobr est un scindage de P dans D.

Soit B un anneau commutatif, et ρ un homomorphisme de A dans B. Supposons, comme le veut la définition, que PModèle:Exp admette un scindage Modèle:Nobr dans B. on vérifie sans peine que l'extension de ρ à A[XModèle:Ind] à valeurs dans B, définie par XModèle:Ind ↦ yModèle:Ind, induit, par passage au quotient, une extension φ de ρ à R à valeurs dans B satisfaisant Modèle:Nobr = yModèle:Ind, et il n'y a pas d'autre extension de ρ à R qui satisfasse à cette dernière condition (unicité). On a :

(X -yModèle:Ind)...(X - yModèle:Ind) = PModèle:Exp = PModèle:Exp = Modèle:Nobr.

Donc, puisque Modèle:Nobr est unitaire, Modèle:Nobr = Modèle:Nobr (unicité du quotient dans la division euclidienne).

L'hypothèse d'induction assure qu'il existe une unique extension ͠φ de φ à Modèle:Nobr' à valeurs dans B telle que Modèle:Nobr = Modèle:Nobr pour tout i entre 1 et Modèle:Nobr. Puisque φ est l'unique extension de ρ à R à valeurs dans B satisfaisant Modèle:Nobr = yModèle:Ind, ͠φ est encore l'unique extension de ρ à Modèle:Nobr' à valeurs dans B satisfaisant Modèle:Nobr = Modèle:Nobr pour tout i entre 1 et n (C.Q.F.D.)

Unicité : L'unicité provient de l'universalité. Soit Modèle:Nobr un autre anneau de décomposition universel de P sur A. En faisant B = Modèle:Nobr et en substituant à ρ l'injection canonique i: A → Modèle:Nobr dans la définition de l'anneau de décomposition universel plus haut, on a un 𝒞-morphisme φ: Modèle:Nobr → Modèle:Nobr. De façon symétrique, on a un 𝒞-morphisme ψ : Modèle:Nobr → Modèle:Nobr. Donc ψφ est un 𝒞-morphisme de Modèle:Nobr dans lui même. Mais un tel morphisme est nécessairement unique, comme on le voit par la définition en faisant cette fois B = D et ρ = IdModèle:Ind, donc c'est l'identité. Ainsi, si O est le foncteur oubli (voir première section), Modèle:Nobr = Id = Modèle:Nobr, ce qui signifie que Modèle:Nobr est injectif. De façon symétrique, φψ est un 𝒞-morphisme de Modèle:Nobr dans lui même, et on a Modèle:Nobr = Id. Donc Modèle:Nobr est surjectif. Ainsi O(φ) est un isomorphisme.

Démonstration du numéro 3 :

Notons R l'anneau Modèle:Nobr, et T l'anneau Modèle:Nobr. Soit Modèle:Nobr un anneau de décomposition universel de P sur A.

En notant Modèle:Surligner la classe de XModèle:Ind dans R, le théorème fondamental des fonctions symétriques implique que (Modèle:Surligner)Modèle:Ind est un scindage de P dans R car Modèle:Nobr = aModèle:Ind par définition de ℐ.

Considérons l'homomorphisme de substitution ψ de T dans D qui associe xModèle:Ind à XModèle:Ind pour tout i.

Le théorème fondamental des fonctions symétriques à nouveau montre que les coefficients aModèle:Ind sont égaux à Modèle:Nobr (1 ≤ k ≤ n). Donc les éléments Modèle:Nobr sont dans le noyau de ψ, ou ce qui revient au même, ℐ ⊆ ker(ψ). Mais alors ψ induit, par passage au quotient, un A-homomorphisme Modèle:Surligner de R dans D qui associe xModèle:Ind à Modèle:Surligner. Si B, ρ et Modèle:Nobr sont définis comme plus haut, il existe un unique 𝒞-morphisme φ de Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr. Donc φModèle:Surligner est un 𝒞-morphisme de Modèle:Nobr dans Modèle:Nobr. Ce 𝒞-morphisme est l'unique qui envoie Modèle:Surligner sur yModèle:Ind pour tout i car les Modèle:Surligner engendrent R sur A. Ainsi, R est un anneau de décomposition universel de P sur A.

Démonstration du numéro 4:

Si Modèle:Nobr > 2 et si i et j sont > 1, Modèle:Nobr = 0 constitue une relation de dépendance linéaire non triviale entre deux éléments de la base du A-module D spécifiée dans le théorème, et ne peut donc avoir lieu. Si i ou j = 1, il suffit de permuter les indices pour se ramener à ce cas. Si maintenant Modèle:Nobr = 2 et xModèle:Ind = xModèle:Ind, alors P = Modèle:Nobr. On a donc, avec les notations du théorème, 2xModèle:Ind- aModèle:Ind = 0. Si 2 ou aModèle:Ind est différent de 0, cela constitue une relation de dépendance linéaire non triviale entre les éléments de la base {xModèle:IndModèle:Exp = 1, xModèle:Ind} de D, ce qui est interdit. Il faut donc que 2 et aModèle:Ind soient nuls dans A. Ce cas de figure ne peut se produire que si la caractéristique de A est 2 et si P est de la forme Modèle:Nobr.

Réciproquement, si tel est le cas, on a xModèle:Ind+xModèle:Ind = aModèle:Ind = 0, ou bien xModèle:Ind = -xModèle:Ind = xModèle:Ind, puisque, 2 étant nul, 1 = -1 dans A. Modèle:Démonstration/fin

Remarques

• Il suit immédiatement du Modèle:Numéro que les xModèle:Ind engendrent D sur A.
• Dans T = Modèle:Nobr, définissons PModèle:Ind, ... , PModèle:Ind par :

PModèle:Ind = Modèle:Nobr, et pour tout k ≤ Modèle:Nobr, PModèle:Ind = Modèle:Nobr, où Q est le quotient de la division euclidienne de P par Modèle:Nobr (donc PModèle:Ind ∈ Modèle:Nobr). Alors la construction dans la preuve du théorème ci-dessus montre (avec un peu d'attention) que l'anneau de décomposition universel de P sur A est Modèle:Nobr, où 𝒥 est l'idéal engendré par les PModèle:Ind dans T. Cette construction peut s'avérer plus maniable que la construction par les polynômes symétriques.

• Il suit du numéro 4 qu'à l'exception du cas où A est de caractéristique 2 et P = Modèle:Nobr, si le discriminant de P est nul, D ne peut être intègre. cela résulte du fait que le discriminant de P est égal au produit des carrés des différences des paires de racines d'indices distincts. Néanmoins, cette condition est loin d'être suffisante : l'anneau de décomposition universel d'un polynôme P n'est pas intègre en général, même lorsque A est un corps. Cela sera cependant le cas si A est un corps et les polynômes Modèle:Nobr définis dans la remarque plus haut sont irréductibles sur Modèle:Nobr. Dans ce cas d'ailleurs, D s'identifie au corps de décomposition de P sur A.

Exemples

Exemple 1 : Supposons que A = ℚ , et Modèle:Nobr = Modèle:Nobr. Posons PModèle:Ind = P et PModèle:Ind = Modèle:Nobr. D'après une remarque précédente, l'anneau de décomposition universel est

$D=\mathbb{Q}[X_1,X_2]/(P_1(X_1),P_2(X_2))=\mathbb{Q}[X_2]/(P_2(X_2)).$

Par le théorème des restes chinois, cet anneau est isomorphe à

$\mathbb{Q}[X_2]/(X_2-1)\times \mathbb{Q}[X_2]/(X_2-2)\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}.$

Quelles sont les racines de P dans $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ ? Notons xModèle:Ind la class de XModèle:Ind dans $\mathbb{Q}[X_2]/(P_2(X_2))$. Comme $P=X^2-3X+2$ et que xModèle:Ind est racine de P, l'autre racine est 3-xModèle:Ind. Dans l'isomorphisme du théorème des restes chinois ci-dessus, xModèle:Ind passe sur (XModèle:Ind mod (XModèle:Ind-1), XModèle:Ind mod (XModèle:Ind-2)), c'est-à-dire sur (1, 2), tandis que 3 - xModèle:Ind passe sur 3 - (1,2) = (3-1, 3-2) = (2,1). Ainsi, les deux racines de P dans Modèle:Nobr sont Modèle:Nobr et Modèle:Nobr. Ce ne sont pas les seules racines: Modèle:Nobr et Modèle:Nobr sont aussi racines de P dans Modèle:Nobr, ce qu'on vérifie immédiatement puisque

$P((1,1))=(P(1),P(1))=0=(P(2),P(2))=P((2,2)).$

On a bien un unique homomorphisme de Modèle:Nobr dans lui même envoyant Modèle:Nobr sur Modèle:Nobr et Modèle:Nobr sur Modèle:Nobr : c'est l'homomorphisme Modèle:Nobr.

En revanche, le scindage Modèle:Nobr de P n'est pas universel ; en effet, s'il existait un homomorphisme de Modèle:Nobr dans lui même envoyant Modèle:Nobr sur Modèle:Nobr et Modèle:Nobr sur Modèle:Nobr, il enverrait alors Modèle:Nobr = Modèle:Nobr sur Modèle:Nobr = Modèle:Nobr, une contradiction.

Enfin le corps de décomposition de P est évidemment ℚ, où les racines de P sont 1 et 2. L'unique homomorphisme de Modèle:Nobr dans ℚ qui envoie Modèle:Nobr sur 1 et Modèle:Nobr sur 2 est Modèle:Nobr. Par contre, s'il existait un homomorphisme de ℚ dans Modèle:Nobr envoyant 1 sur Modèle:Nobr et 2 sur Modèle:Nobr, il enverrait 2 = 1+1 sur Modèle:Nobr = Modèle:Nobr, une contradiction. Donc ℚ n'est pas un anneau de décomposition universel de P.

Exemple 2 : Considérons maintenant un cas pathologique : A = ℚ et P = XModèle:Exp. L'élément 0 est racine double de P dans A. On a D = Modèle:Nobr. La division euclidienne de P par Modèle:Nobr donne P = Modèle:Nobr. On voit qu'un polynôme P peut avoir un scindage dans D (et même dans A) comportant une racine double, tandis que sa décomposition universelle n'en comporte pas.

Exemple 3 : Supposons que A est un anneau de caractéristique 2, et P un polynôme de la forme Modèle:Nobr. En procédant comme précédemment (ou en se contentant de vérifier que P = Modèle:Nobr), l'anneau de décomposition universel D de P sur A est Modèle:Nobr, de scindage universel associé Modèle:Nobr. On voit que lorsque la caractéristique de A est 2, un scindage universel (et donc tout scindage universel) d'un polynôme de la forme XModèle:Exp + aModèle:Ind comporte une racine double.

Exemple 4 : Supposons que D soit un anneau de décomposition universel de P sur A, et que d soit un scindage universel de P dans D. Alors il peut exister un autre scindage universel de P dans D qui ne s'obtienne pas trivialement en permutant d'une quelconque façon les éléments de d.

Considérons par exemple un anneau A de caractéristique 2, qui possède un diviseur de zéro non nul α, disons αβ = 0. Soient $P=X^2-(\alpha +\beta )X+c\in A[X]$, d = Modèle:Nobr un scindage universel de P sur A, et D = A[xModèle:Ind] l'anneau de décomposition universel associé.

Notons yModèle:Ind = xModèle:Ind + α , yModèle:Ind = xModèle:Ind + α, et d'Modèle:Nobr = (yModèle:Ind, yModèle:Ind). La somme des éléments de d'Modèle:Nobr est égale à la somme des éléments de d, et il en est de même pour leur produit car

$(x_1+\alpha )(x_2+\alpha )=x_1{x}_2+\alpha (x_1+x_2)+{\alpha }^2=x_1{x}_2+\alpha (\alpha +\beta )+{\alpha }^2=x_1{x}_2+\alpha \beta +2{\alpha }_2=x_1{x}_2.$

Donc d'Modèle:Nobr est un scindage de P sur A.

En vertu de l'universalité, il existe un A-épimomorphisme φ de D dans A[yModèle:Ind, yModèle:Ind] qui envoie xModèle:Ind sur yModèle:Ind. Mais A[yModèle:Ind, yModèle:Ind] = D car xModèle:Ind = yModèle:Ind - α implique xModèle:Ind ∈ A[yModèle:Ind]. Comme D est un A-module libre, on en déduit que φ est un isomorphisme. Ainsi, d'Modèle:Nobr est un scindage universel de P sur A.

Exemple 5 : L'étude de la structure des algèbres de polynômes se ramène à celle de l'anneau de décomposition universel du polynôme générique. Pour s'en rendre compte, considérons un anneau R et n indéterminées SModèle:Ind. Soit A = Modèle:Nobr, P le polynôme générique

$X^n+\sum _{k=1}^n(-1{)}^k{S}_k{X}^{n-k},$

et D l'anneau de décomposition universel de P sur A. On note xModèle:Ind, ...xModèle:Ind ses n racines dans D. Si XModèle:Ind, ... , XModèle:Ind sont n indéterminées et sModèle:Ind est le k-ième polynôme symétrique élémentaire en les XModèle:Ind, alors on a l'homomorphisme de substitution Modèle:Nobr ↦ sModèle:Ind, de A dans B = Modèle:Nobr. Vu que les Modèle:Nobr forment un scindage de PModèle:Exp, celui-ci s'étend à D en un R-épimorphisme xModèle:Ind ↦ XModèle:Ind. Cet épimorphisme est en fait un isomorphisme, dont l'inverse est la substitution XModèle:Ind ↦ xModèle:Ind. On en déduit le théorème de structure des algèbres de polynômes:

Si A = Modèle:Nobr et B = Modèle:Nobr, alors B est un A-module libre de rang n! dont une base est formée par les monômes de la forme Modèle:Nobr tels que Modèle:Nobr pour tout i.

Cas où A est un produit d'anneaux

L'anneau de décomposition d'un polynôme à coefficients dans un produit d'anneaux est lui même un produit d'anneaux. Plus précisément:

Modèle:Énoncé/début Soit A = Modèle:Nobr un produit direct d'anneaux commutatifs. On note πModèle:Ind la i-ième projection de A dans AModèle:Ind. Si P ∈ Modèle:Nobr, alors l'anneau de décomposition universel D de P sur A est isomorphe à Modèle:Nobr, où DModèle:Ind est l'anneau de décomposition universel de PModèle:Exp sur AModèle:Ind. Modèle:Énoncé/fin

Modèle:Démonstration/début Le théorème étant vrai pour les polynômes constants, supposons le vrai pour les polynômes de degré Modèle:Nobr, et soit P un polynôme de degré n sur A. Notons XModèle:Ind une indéterminée. On a un isomorphisme canonique π : A[XModèle:Ind] → Modèle:Nobr défini par f(XModèle:Ind) ↦ ( fModèle:Exp(XModèle:Ind) )Modèle:Ind.

On vérifie que le diagramme commutatif suivant fonctionne et définit un isomorphisme φ :

$\begin{array}{ccc}A[X_n]& \stackrel{\pi }{\to }& \prod _i{A}_i[X_n]\\ \downarrow j_1& & \downarrow j_2=(j_i{)}_i\\ A[X_n]/(P(X_n))& \stackrel{\phi (isom)}{---\to }& \prod _i{A}_i[X_n]/(P^{{\pi }_i}(X_n))\end{array}$

Notons à partir de maintenant $R_i=A_i[X_n]/(P^{{\pi }_i}(X_n))$ et $R=\prod _i{R}_i$. De plus, Modèle:Surligner dénotera la class de XModèle:Ind dans l'anneau quotient en jeu.

D'après la construction par induction de l'anneau de décomposition universel de P exposée dans la preuve au commencement de cette section, D est l'anneau de décomposition universel du polynôme Q(X) = Modèle:Nobr sur Modèle:Nobr. Sous l'isomorphisme φ, Q passe sur QModèle:Exp, Modèle:Surligner passe sur Modèle:Nobr et D est isomorphe à l'anneau de décomposition universel de QModèle:Exp sur R.

Notons π'Modèle:Ind la projection de R dans RModèle:Ind, et D'Modèle:Ind l'anneau de décomposition universel de Modèle:Nobr sur RModèle:Ind. Puisque le polynôme Q est de degré Modèle:Nobr, l'hypothèse d'induction implique que D est isomorphe au produit des D'Modèle:Ind. Mais il est clair que Modèle:Nobr étend πModèle:Ind, donc Modèle:Nobr = Modèle:Nobr et (en vertu de la construction par induction à nouveau), D'Modèle:Ind = DModèle:Ind, ce qui permet de conclure l'induction. Modèle:Démonstration/fin

Cas où A est un corps

Le résultat suivant est peut-être un peu surprenant : Modèle:Énoncé/début Supposons que A est un corps et que P est un polynôme séparable à coefficients dans A. Alors l'anneau de décomposition universel D de P sur A est isomorphe au produit direct d'un certain nombre de copies du corps de décomposition de P sur A. Modèle:Énoncé/fin

Modèle:Démonstration/début Si P est constant, il n'y a rien à prouver. Supposons le résultat vrai pour les polynômes de degré Modèle:Nobr, et soit P un polynôme de degré n sur A.

Le polynôme P se scinde sur A en un produit de k polynômes irréductibles PModèle:Ind, premiers deux à deux. On note αModèle:Ind une racine du polynôme PModèle:Ind dans une clôture algébrique de A (i ∈ Modèle:Nobr) et AModèle:Ind le corps Modèle:Nobr ( Modèle:Nobr ).

Notons encore Modèle:Nobr = Modèle:Nobr, et Q = Modèle:Nobr (Q ∈ Modèle:Nobr). D'après la construction par induction de l'anneau de décomposition de P sur A, exposée au début de cette section, on sait que D est l'anneau de décomposition universel de Q sur Modèle:Nobr.

Par le théorème des restes chinois, il existe un isomorphisme Modèle:Nobr, qui envoie Modèle:Surligner sur Modèle:Nobr. Ainsi, D est isomorphe à l'anneau de décomposition de QModèle:Exp sur Modèle:Nobr. En dénotant par πModèle:Ind la projection de Modèle:Nobr dans AModèle:Ind, et par DModèle:Ind l'anneau de décomposition universel de Modèle:Nobr sur AModèle:Ind, on en déduit, par le théorème de la section précédente, que D est isomorphe au produit direct des DModèle:Ind.

Or ça : Modèle:Nobr = Modèle:Nobr. Donc (puisque Modèle:Nobr est de degré Modèle:Nobr) l'hypothèse de récurrence assure que DModèle:Ind est isomorphe au produit direct d'un certain nombre de copies du corps de décomposition de Modèle:Nobr sur AModèle:Ind. Mais ce corps n'est autre que le corps de décomposition L de P sur A ; donc en fin de compte, D est isomorphe au produit direct d'un certain nombre de copies de L, ce qui termine l'induction. Modèle:Démonstration/fin

Théorie de Galois pour l'anneau de décomposition universel

En regardant l'anneau de décomposition universel d'un polynôme comme l'homologue, pour les anneaux commutatifs, du corps de décomposition d'un polynôme dans la théorie des corps, il est légitime de se demander quel est l'homologue du groupe de Galois pour cet anneau. En fait, dans la grosse majorité des cas, le théorème précédent contient pratiquement tout ce qu'il faut pour déterminer le groupe des A-automorphismes permutant les racines de P et son anneau d'invariants. Il apparait que celui-ci est, en général, le plus « grossier » possible. Plus précisément, les résultats suivants on lieu :

Modèle:Énoncé/début Soient A un anneau commutatif, P un polynôme à coefficient dans A, D un anneau de décomposition universel de P, et d = Modèle:Nobr une décomposition universelle de P dans D. On note G le groupe des A-automorphismes de D qui permutent les éléments de d.

1. À l'exception du cas où A est de caractéristique 2 et P est de la forme XModèle:Exp + aModèle:Ind, G est isomorphe à SModèle:Ind.
2. si le discriminant de P n'est pas un diviseur de 0 dans A (et en particulier si c'est une unité de A), l'anneau des invariants de G est A ;
3. le même résultat a lieu, si 2 n'est pas un diviseur de 0 dans A.

Modèle:Démonstration/début Démonstration du Modèle:Numéro : Pour toute permutation σ de SModèle:Ind, Modèle:Nobr est un scindage de P dans D, donc il existe un homomorphisme φ de D dans lui même, prolongeant l'identité A → A, qui envoie xModèle:Ind sur xModèle:Ind. Comme les xModèle:Ind engendrent D sur A, φ est un A-épimorphisme. De façon symétrique, puisque Modèle:Nobr est universel (voir remarque plus haut), il existe un A-épimorphisme ψ de D dans lui même qui envoie xModèle:Ind sur xModèle:Ind. Ainsi φψ = Id ce qui assure l'injectivité de φ. Donc φ est un A-automorphisme de D.

Il est facile de voir que l'application Φ qui fait correspondre φ à σ est un homomorphisme de SModèle:Ind dans G. C'est même un épimorphisme car les xModèle:Ind engendrent D sur A et ne sont que permutés par les éléments de G (hypothèse). Mais d'après le théorème plus haut, les xModèle:Ind sont distincts (à l'exception d'un cas exceptionnel qui est celui énoncé dans le présent théorème). Par conséquent deux permutations distinctes de SModèle:Ind ne peuvent induire le même automorphisme de G. D'où l'injectivité de Φ, et Φ est un isomorphisme.

Démonstration des Modèle:Numéro et 3 : Soit x un élément de D. Supposons que x est fixé par tous les éléments de G. Il faut montrer que x ∈ A. On va utiliser le fait, énoncé dans le théorème précédent, que x s'exprime de façon unique comme combinaison A-linéaire des monômes Modèle:Nobr où 0 ≤ mModèle:Ind ≤ Modèle:Nobr pour tout i.

Si deg(P) = 0, il n'y a rien à prouver, et si deg(P) = 1, D est isomorphe à A et il n'y a encore rien à prouver. On peut donc supposer deg(P) ≥ 2. Procédons par récurrence sur le degré du polynôme P, en supposant le résultat démontré au rang Modèle:Nobr, n ≥ 2.

Notons Modèle:Nobr l'anneau Modèle:Nobr, et Q le polynôme P/(X - xModèle:Ind), avec

$Q=X^{n-1}-b_{n-2}{X}^{n-2}+...+(-1{)}^{n-1}{b}_0.$

Remarquons d'abord que Q appartient à Modèle:Nobr (en vertu de la division euclidienne), et que Modèle:Nobr est un scindage universel de Q dans D : en effet, si Modèle:Nobr est un homomorphisme de Modèle:Nobr dans un anneau commutatif B où QModèle:Exp est scindé, sa restriction ρ à A vérifie

$P^{\rho }=P^{{\rho }^{\prime }}=(X-{\rho }^{\prime }(x_n))Q^{{\rho }^{\prime }}.$

Donc en notant Modèle:Nobr un scindage de QModèle:Exp, il existe un unique homomorphisme φ étendant ρ à D tel que Modèle:Nobr = Modèle:Nobr, et Modèle:Nobr = yModèle:Ind pour 0 ≤ i ≤ Modèle:Nobr. Comme xModèle:Ind engendre Modèle:Nobr sur A, φ est encore une extension de Modèle:Nobr à D, et elle remplit les conditions désirées (y compris l'unicité).

À ce stade, précisons que l'une et l'autre des conditions des numéros 2 et 3 excluent le cas exceptionnel où A est de caractéristique 2 et P = XModèle:Exp - aModèle:Ind. En effet, si A est de caractéristique 2, alors 2 = 0 est évidemment un diviseur de 0, et d'un autre côté le discriminant du polynôme P ci-dessus est égal à 0^2 - 4aModèle:Ind = 0 (puisque 4 = 0 en caractéristique 2). Donc G = SModèle:Ind d'après le numéro 1.

Maintenant, x est fixé par G, donc aussi par le groupe des automorphismes de G qui laissent fixe xModèle:Ind. Ce groupe s'identifie trivialement au groupe des Modèle:Nobr-automorphismes de D qui permutent les xModèle:Ind, ..., xModèle:Ind. La suite de la démonstration se scinde maintenant pour les Modèle:Numéro et Modèle:Numéro.

Suite de la démonstration du Modèle:Numéro : Le discriminant Modèle:Nobr de P étant le produit des carrés des différences de toutes les paires de racines dans la décomposition universelle de P, et la même chose ayant lieu pour Q, il est clair que le discriminant Modèle:Nobr de Q divise celui de P dans Modèle:Nobr. Mais Modèle:Nobr ( ∈ A) n'est pas un diviseur de 0 dans Modèle:Nobr car il ne l'est pas dans A, et Modèle:Nobr est un A-module libre. Il doit en être de même de Modèle:Nobr. On peut par conséquent appliquer l'hypothèse de récurrence :

$x\in A^{\prime }.$

On a donc (puisque xModèle:Ind est solution du polynôme P unitaire)

$x={\alpha }_0+{\alpha }_1{x}_n+...+{\alpha }_{n-1}{x}_n^{n-1},{\alpha }_i\in A,$

et cela constitue d'ailleurs l'expression de x dans la base précisée au début de la preuve.

L'élément x a été supposé invariant par les permutations des xModèle:Ind, donc il l'est en particulier par la transposition qui échange xModèle:Ind et xModèle:Ind. On peut donc écrire:

${\alpha }_1(x_n-x_{n-1})+...+{\alpha }_{n-1}(x_n^{n-1}-x_{n-1}^{n-1})=0.$

Chacun des termes de cette somme est de la forme :

${\alpha }_i(x_n-x_{n-1})M_i,\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}{M}_i=x_n^{i-1}+x_n^{i-2}{x}_{n-1}+\cdots +x_n{x}_{n-1}^{i-2}+x_{n-1}^{i-1}(i\in \{1,2,\dots ,n-1\}).$

Puisque Modèle:Nobr divise le discriminant de P, ce n'est pas un diviseur de 0 dans D, donc on peut simplifier l'expression ci-dessus par Modèle:Nobr:

$\sum _{i=1}^{n-1}{\alpha }_i{M}_i=0.$

Mais les MModèle:Ind sont des polynômes homogènes de degrés total Modèle:Nobr, comportant seulement des monômes dont le coefficient est 1. Donc chacun des monômes Modèle:Nobr de la base de D sur A apparait exactement une fois dans ces expressions, affecté d'un des coefficients αModèle:Ind; on en conclut que αModèle:Ind = 0 pour tout i > 0. Ainsi x = αModèle:Ind ∈ A.

Suite du Modèle:Numéro : Puisque 2 n'est pas un diviseur de 0 dans A, ce n'est pas un diviseur de 0 dans Modèle:Nobr (qui est un A-module libre), et l'hypothèse de récurrence implique immédiatement x ∈ Modèle:Nobr.

Écrivons à nouveau x dans la base précisée au début de la preuve:

$x={\alpha }_0+{\alpha }_1{x}_n+...+{\alpha }_{n-1}{x}_n^{n-1},{\alpha }_i\in A.$

Si αModèle:Ind = 0, alors la permutation qui échange xModèle:Ind avec xModèle:Ind montre immédiatement, en l'appliquant à cette expression, que x doit appartenir à A: en effet, l'expression obtenue est d'ôres et déjà exprimée dans la base ci-dessus.

Supposons donc maintenant, afin d'obtenir une contradiction, que αModèle:Ind ≠ 0. Dans l'expression de Q ci-dessus, la division synthétique de P par Modèle:Nobr montre que

$(-1{)}^{n-i-1}{b}_i=x_n^{n-i-1}-a_{n-1}{x}_n^{n-i-2}+...+(-1{)}^{n-i-1}{a}_{i+1}.$

En particulier, tous les coefficients bModèle:Ind contiennent (dans ce développement) des puissances de xModèle:Ind inférieures à Modèle:Nobr, sauf bModèle:Ind qui contient un unique terme xModèle:IndModèle:Exp affecté du coefficient (-1)Modèle:Exp. En utilisant la relation Modèle:Nobr = 0, on en déduit que le coefficient de xModèle:Ind dans le développement de xModèle:IndModèle:Exp dans la base ci-dessus Modèle:Nobr :

$x_{n-1}^{n-1}=-x_n^{n-1}+\sum _{i,j}{\gamma }_{i,j}{x}_{n-1}^i{x}_n^j,{\gamma }_{i,j}\in A,0\le i,j\le n-2.$

Par conséquent, si l'on échange xModèle:Ind avec xModèle:Ind dans l'expression de x plus haut, on trouve

$x=-{\alpha }_{n-1}{x}_n^{n-1}+\sum _{i,j}{\delta }_{i,j}{x}_n^i{x}_{n-1}^j,{\delta }_{i,j}\in A,0\le i,j\le n-2.$

C'est impossible, sauf si -αModèle:Ind = αModèle:Ind, c.a.d si 2αModèle:Ind = 0. Donc 2 est un diviseur de 0 dans A, ce qui est contre l'hypothèse. Modèle:Démonstration/fin

Lorsque les conditions du théorème précédent sont remplies, le théorème signifie que l'extension d'anneaux D/A est Galoisienne dans les sens de la théorie de Galois pour les anneaux, et G est un groupe de Galois pour cette extension.

Remarque

Lorsque 2 est un diviseur de 0 dans A, et sans la restriction « Modèle:Nobr ne divise pas 0 », la situation tourne au vinaigre. Voici un exemple.

Soit α ∈ A non nul, tel que 2α = 0, ou bien α = -α. Soit encore a ∈ A non nul tel que aα = 0 (par exemple, n'importe quel multiple de 2 convient si A n'est pas de caractéristique 2). Considérons le polynôme P = Modèle:Nobr, où b est un quelconque élément de A. Le groupe de Galois G de l'anneau de décomposition de P contient 2 permutations: l'identité, et la transposition σ qui échange xModèle:Ind avec xModèle:Ind. Appliquons σ à l'élément αxModèle:Ind, qui est, comme on sait, non nul:

$\sigma (\alpha x_1)=\alpha x_2=\alpha (a-x_1)=\alpha a-\alpha x_1=0-\alpha x_1=\alpha x_1.$

Donc, le groupe de Galois G, quoique ne fixant pas la racine xModèle:Ind, fixe l'élement αxModèle:Ind, qui n'appartient pas à A. Ainsi, l'anneau des invariants de G n'est pas A. On peut cependant observer que, comme prévu par le théorème, le discriminant δ(P) = a^2 - 4b de P est un diviseur de zéro ; on a en effet

$\alpha \delta (P)=\alpha a^2-4\alpha b=(\alpha a)a^3+(2\alpha )2b=0+0$.

Exemple

Supposons que le discriminant de P, ou 2, ne soit pas un diviseur de 0 dans A. Soit x un élément de D, et H le sous-groupe de G qui fixent x. Notons Modèle:Nobr les classes à droite de Modèle:Nobr. Si σ ∈ G, le produit par σ permute les éléments de Modèle:Nobr, donc il existe une permutation Modèle:Nobr des indices i telle que σσModèle:Ind = Modèle:Nobr, avec hModèle:Ind ∈ H. Formons le polynôme

$Q=\prod _i(X-{\sigma }_{i}x).$

Les σModèle:Indx appartiennent à D et sont distincts, car σModèle:Indx = σModèle:Indx implique Modèle:Nobr = x et donc Modèle:Nobr ∈ H.

Tout élément σ ∈ G admet une extension canonique à D[X] par application sur les coefficients des monômes en X, et on a

$\sigma Q=\prod _i(X-\sigma {\sigma }_{i}x)=\prod _i(X-{\sigma }_{j(i)}{h}_{i}x)=\prod _i(X-{\sigma }_{j(i)}x)=Q.$

Donc les coefficients de Q sont fixés par G, et par le théorème précédent, ils appartiennent à A. Ainsi,

tout élément x de D est racine d'un polynôme Q à coefficients dans A, qui admet un scindage dans D sans racines doubles. D est en quelque sorte « normal » et « séparable » sur A.

D'autre part, il est immédiat que

Le degré de Q est égal à l'indice de H dans G.

Enfin, si le discriminant de Q n'est pas un diviseur de 0 dans D, on va voir que tout polynôme f annulant x est multiple de Q: un homologue du polynome minimal dans les corps.

Notons en effet xModèle:Ind = σModèle:Indx (avec xModèle:Ind = σModèle:Indx = x) ; l'hypothèse sur le discriminant implique que Modèle:Nobr n'est pas un diviseur de 0 pour tout i ≠ j.

Maintenant, comme x est racine de f, on a f = Modèle:Nobr avec h ∈ Modèle:Nobr. Mais xModèle:Ind est aussi racine de f puisque c'est l'image de x par le A-automorphisme σModèle:Ind. Comme, Modèle:Nobr n'est pas un diviseur de 0, on en déduit que xModèle:Ind est une racine de h.

On réitère cet argument avec h à la place de f, xModèle:Ind à la place de x et xModèle:Ind à la place de xModèle:Ind, et on continue de proche en proche, jusqu'à ce tous les xModèle:Ind soient épuisés. En fin de course, f est multiple du produit des Modèle:Nobr.

Histoire

Une étude systématique de l'anneau de décomposition universel D, où apparait le théorème de structure fut effectuée par Modèle:Nobr en 1971, dans un article sur les polynômes séparables dans les anneaux commutatifs. Ce dernier démontre de plus que si le discriminant δ(P) de P est une unité de A, alors le groupe symétrique SModèle:Ind agit comme un groupe d'automorphismes de D, dont l'anneau des invariants est égal à A. Un peu plus tard, Modèle:Nobr publie à peu près le même résultat, retrouvé indépendamment.

En 1978, Modèle:Nobr met à jour, toujours sous l'hypothèse « δ(P) inversible », un isomorphisme entre D et un certain anneau que Modèle:Nobr et Modèle:Nobr avaient construit par une méthode très différente.

Le premier théorème de cet article fut finalement inclus dans les livres d'algèbre de Modèle:Nobr en 1981, où il est démontré au moyen de théorèmes de structure des algèbres de polynômes symétriques.

Il faut attendre vingt-cing ans pour que l'anneau de décomposition universel connaisse un regain d'intérêt, quand Modèle:Nobr et Modèle:Nobr en donnent, entre autres, des applications à la théorie de Galois. Plus récemment, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr et Modèle:Nobr on généralisé cette notion en introduisant la notion de clôture galoisienne des extensions d'anneauxModèle:,.

Voir aussi

The Separable Galois Theory of Commutative Rings (seconde édition) par Andy R. Magid, Chapman and Hall/CRC, 2014.