Approximation affine

La droite tangente au point (a, f(a)) permet d'approcher la fonction Modèle:Mvar dans un voisinage de Modèle:Mvar.

En mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine. Une approximation affine sert principalement à simplifier un problème dont on peut obtenir une solution approchée.

Deux façons classiques d'obtenir une approximation affine de fonction passent par l'interpolation ou le développement limité à l’ordre 1.

Méthodes d'approximation

Interpolation

Étant donné une fonction Modèle:Mvar définie et continue sur un intervalle Modèle:Math et dont on connait la valeur aux bornes, on peut approcher la courbe de la fonction par la corde d’équation

$y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$.

Si la fonction est de [[classe de continuité|classe Modèle:Math]], l’écart entre la valeur de la fonction et l’approximation affine par interpolation est contrôlée par un majorant de la valeur absolue de la dérivée seconde : si $|f^{″}(x)|\le M$ alors pour tout Modèle:Math on a

$|f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)|\le M\frac{|(x-a)(b-x)|}{2}$.

Cette formulation ainsi que l’inégalité sont encore valables en dehors de l’intervalle Modèle:Math, pour peu que la majoration de la dérivée seconde le soit aussi. Par passage à la limite de Modèle:Mvar vers Modèle:Mvar, on obtient l’approximation affine par développement limité ci-dessous.

L’interpolation affine est utilisée notamment pour définir la méthode des trapèzes en intégration numérique.

Développement limité

Étant donné une fonction dérivable Modèle:Mvar d'une variable réelle, et un réel Modèle:Mvar, la fonction Modèle:Mvar définie par

$\mathrm{\forall }x\ne af(x)=f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a)+(x-a)\epsilon (x)$

vérifie

$\underset{x\to a}{\lim }\epsilon (x)=0.$

Modèle:Mvar s'appelle le reste. Cette formule apparaît comme un cas particulier (n = 1) de la formule de Taylor : c'est un développement limité d'ordre 1.

Une approximation affine de Modèle:Mvar s'obtient en négligeant ce reste. La fonction $x\mapsto f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a)$ constitue alors une approximation affine de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar.

On écrit alors, pour Modèle:Mvar dans un voisinage de Modèle:Mvar :

$f(x)\simeq f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a).$

L'expression de droite correspond à l'équation Modèle:Math de la tangente à la courbe représentative de Modèle:Mvar au point Modèle:Math, et pour cette raison, certains appellent cette méthode l'approximation tangente ou approximation affine tangente.

Il est aussi possible d'utiliser des approximations pour les fonctions vectorielles d'une variable vectorielle, dans laquelle Modèle:Math est remplacée par une matrice jacobienne. L'approximation correspond alors à l'équation d'une droite tangente, ou d'un plan tangent, ou d'un hyperplan tangent. Cela s'applique aussi aux fonctions d'une variable complexe.

Dans le cas plus général des espaces de Banach, on peut écrire

$f(x)\simeq f(a)+\mathrm{D}f(a)(x-a)$

où Modèle:Math est la différentielle de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar. Ici, l'application linéaire n'est autre que Modèle:Math.

L’approximation affine par la tangente est notamment utilisée dans la méthode de Newton pour approcher les zéros d’une fonction dérivable.

Exemple

Pour trouver une valeur approchée de Modèle:Racine, on peut procéder de la manière suivante :

1. considérer la fonction Modèle:Mvar définie par Modèle:Math. Le problème se ramène à la recherche d'une valeur approchée de Modèle:Math ;
2. Modèle:Mvar est une fonction puissance donc dérivable sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et la dérivée est donnée par

   $f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$ ;

3. Par l'approximation linéaire donnée par la dérivée, il vient, en prenant Modèle:Math :

   $f(25)\simeq f(27)+f{}^{\prime }(27)(25-27)=3-\frac{2}{27}$ ;

4. La valeur approchée 2,926 obtenue apparaît assez proche de la valeur exacte 2,924…

Applications en physique

En optique

L'optique gaussienne est une technique d'optique géométrique qui décrit le comportement de rayons lumineux dans des systèmes optiques par approximation paraxiale, où les angles entre les rayons et l'axe optique sont très petits. Dans ce cas, les termes dépendant des angles, exprimés par de fonctions trigonométriques, peuvent être approchés linéairement. On peut obtenir ainsi des approximations correctes de la distance focale, la magnification et la luminosité.

Le pendule oscillant

Modèle:Article détaillé La période d'oscillation d'un pendule pesant dépend de sa longueur, de l'intensité de la gravité et de l'amplitude d'oscillation Modèle:Math, mais pas de la masse. La période Modèle:Mvar d'un pendule simple, dans le cas idéal, s'exprime dans sa forme exacte par une série infinieModèle:,:

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{1}{16}{\theta }_0^2+\frac{11}{3072}{\theta }_0^4+\cdots )$

avec Modèle:Mvar la longueur et Modèle:Mvar l'accélération locale de la gravité.

Cependant, dans le cas des petites oscillations, tel qu'on a Modèle:Math, considérer cette approximation linéaire permet d'obtenir:

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}{\theta }_0\ll 1(1)$

et sous cette forme, elle ne dépend plus de l'amplitude. Cette propriété d'isochronisme est à la base des mesures de durée.

Articles connexes

• Algorithme du gradient
• Différence finie
• Méthode de Newton
• Méthode des différences finies
• Méthode d'Euler
• Série de Taylor
• Série entière