Bicommutant

Modèle:Ébauche En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée $X^{\prime }$, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : $X^{″}$.

Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

• le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
  • $X\subset X^{″}$
  • $X\subset Y\Rightarrow X^{″}\subset Y^{″}$
  • $(X^{″}{)}^{″}=X^{″}$
• $X^{‴}=X^{\prime }$, cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de

$X\subset X^{″}\Rightarrow (X^{″}{)}^{\prime }\subset X^{\prime }$ et de $X^{\prime }\subset (X^{\prime }{)}^{″}$.

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

$X\subset X^{″}=X^{⁗}=X^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\dots =X^{2n}=\dots$

$X^{\prime }=X^{‴}=X^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\dots =X^{2n-1}=\dots$

pour tout entier n ≥ 1.

Voir aussi

• Théorème du bicommutant de von Neumann
• Centralisateur