Commutant

En algèbre, le commutant d'un sous-ensemble $X$ d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble $X^{\prime }$ des éléments de A qui commutent avec tout élément de $X$. Autrement dit,

$X^{\prime }=\{a\in A|\mathrm{\forall }x\in X,xa=ax\}.$

En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.

Propriétés

Les deux premières propriétés expriment, de deux façons équivalentes, que l'application $𝒫(A)\to 𝒫(A),X\mapsto X^{\prime }$ permet de définir une correspondance de Galois antitone. La troisième en est une conséquence.

• $X\subset Y^{\prime }\iff Y\subset X^{\prime }$
• $(X\subset Y\Rightarrow Y^{\prime }\subset X^{\prime })$ et $X\subset X^{″}$
• $X^{‴}=X^{\prime }$
• Si A est un demi-groupe (par exemple un groupe, ou bien un pseudo-anneau, pour la multiplication) alors le commutant d'une partie quelconque de A forme une partie stable de A.

Articles connexes

• Bicommutant
• Théorème du bicommutant de von Neumann
• Paire de matrices commutantes