Conjecture de Brumer-Stark

La conjecture de Brumer-Stark est une conjecture en théorie algébrique des nombres donnant une généralisation à la fois de la formule analytique des nombres de classe pour les fonctions zêta de Dedekind et aussi du théorème de Stickelberger sur la factorisation des sommes de Gauss. Elle porte les noms d'Armand Brumer et Harold Stark.

Elle apparaît comme un cas particulier (abélien et du premier ordre) de la Modèle:Lien, lorsque la place qui se scinde dans l'extension est finie. Il y a très peu de cas où la conjecture est connue comme vraie. Son importance découle, par exemple, de sa connexion avec le douzième problème de Hilbert.

Énoncé de la conjecture

Soit Modèle:Formule une extension abélienne de corps globaux, et soit Modèle:Mvar un ensemble de places de Modèle:Mvar contenant les places archimédiennes et les idéaux premiers qui se ramifient dans Modèle:Formule. La fonction L d'Artin équivariante Modèle:Mvar-imprimitive Modèle:Formule est obtenue à partir de la Modèle:Lien usuelle en supprimant les facteurs d'Euler correspondant aux nombres premiers dans Modèle:Mvar des fonctions L d'Artin à partir desquelles la fonction équivariante est construite. C'est une fonction sur les nombres complexes prenant ses valeurs dans l'anneau complexe de groupe Modèle:Formule, où Modèle:Mvar est le groupe de Galois de Modèle:Formule. Elle est analytique sur l'ensemble du plan, à l'exception d'un seul pôle simple en Modèle:Formule.

Soit Modèle:Formule le groupe des racines de l'unité dans Modèle:Mvar. [[Action de groupe (mathématiques)|Le groupe Modèle:Mvar agit sur]] Modèle:Formule ; soit Modèle:Mvar l'annulateur de Modèle:Formule en tant que Modèle:Formule-module. Un théorème important, d'abord prouvé par C. L. Siegel et plus tard indépendamment par Modèle:Lien, stipule que Modèle:Formule est en fait dans Modèle:Formule. Un théorème plus profond, prouvé indépendamment par Pierre Deligne et Ken Ribet, Modèle:Lien et Pierrette Cassou-Noguès, montre que Modèle:Formule est dans Modèle:Formule. En particulier, Modèle:Formule est dans Modèle:Formule, où Modèle:Mvar est le cardinal de Modèle:Formule.

Le groupe des classes d'idéaux de Modèle:Mvar est un [[Représentation de groupe#Lien avec les K[G]-modules|Modèle:Mvar-module]]. D'après la discussion ci-dessus, il est donc muni d'une action de Modèle:Formule. La conjecture de Brumer-Stark énonce ce qui suit :

La première partie de cette conjecture est due à Armand Brumer, et Harold Stark a suggéré à l'origine que la deuxième condition pourrait être vraie aussi. La conjecture a été énoncée pour la première fois sous une forme publiée par John Tate.

Le terme « anti-unité » fait référence à la condition que Modèle:Formule doit être égal à 1 pour chaque place archimédienne Modèle:Mvar.

Avancées

On sait que la conjecture de Brumer-Stark est vraie dans les cas suivants :

• Modèle:Formule est abélienne (le sous-cas où Modèle:Formule est cyclotomique résulte du théorème de Stickelberger) ;
• Modèle:Formule est quadratique ou biquadratique.

Corps de fonctions

Une conjecture analogue dans le cas de corps de fonctions est connue, ayant été prouvée par John Tate et Pierre Deligne.