Constante d'Hermite

En géométrie des nombres, la constante d'Hermite Modèle:Math, portant le nom du mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier Modèle:Math. Étant donné un réseau Modèle:Mvar, on note λ₁(Modèle:Mvar) la norme d'un plus court vecteur non nul de Modèle:Mvar ; alors Modèle:Racine est le maximum de λ₁(Modèle:Mvar) sur tous les réseaux Modèle:Mvar de covolume 1 de l'espace euclidien Rⁿ.

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale ${\mathrm{\Delta }}_n$ d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation :

${\gamma }_n=4{\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}_n}{V_n}\right)}^{2/n}$ où $V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}$ est le volume de l'hypersphère unité de dimension Modèle:Mvar, exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.

La suite des Modèle:Math est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

Valeurs connues

La valeur exacte de Modèle:Math est connue seulement pour $n⩽8$ et Modèle:Mvar = 24Modèle:,.

Modèle:Math	1	2	3	4	5	6	7	8	24
Modèle:Math	1	4/3	2	4	8	64/3	64	2Modèle:8	4Modèle:Exp

La valeur ${\gamma }_2=\frac{2}{\sqrt{3}}$ est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur ${\gamma }_{24}=4$ est atteinte par le réseau de Leech.

Les valeurs pour les Modèle:Math de 9 à 23 sont conjecturées.

Encadrement

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante Modèle:Math en fonction du volume Modèle:Math de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et Modèle:Lien pour la minoration :

$V_n^{-2/n}<{\left(\frac{2\zeta (n)}{V_n}\right)}^{2/n}⩽{\gamma }_n⩽4V_n^{-2/n}$.

Le majorant $4V_n^{-2/n}$ est inférieur à Modèle:Math pour tout Modèle:Math et équivalent à $\frac{2n}{\pi \mathrm{e}}$ quand Modèle:Math tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de Modèle:Math et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine :

${\gamma }_n\le \frac{1,744n}{2\pi \mathrm{e}}+o(n)$.

La minoration (valide seulement pour Modèle:Math) implique que ${\gamma }_n>\frac{n}{2\pi \mathrm{e}}$ pour Modèle:Math assez grand.