Constante de Golomb–Dickman

En mathématiques, la constante de Golomb–Dickman apparaît en théorie des nombres et dans l'étude des permutations aléatoires. Sa valeur est

$\lambda =0,62432998854355087099293638310083724\dots$ Modèle:OEIS

On ne sait pas si cette constante est rationnelle ou non.

Définitions

Soit Modèle:Mvar_Modèle:Mvar l'espérance — prise sur l'ensemble des permutations d'un ensemble de taille Modèle:Mvar — de la longueur du plus grand cycle de chaque permutation. La constante de Golomb-Dickman est définie par

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{n}.$

En termes probabilistes, $n\lambda$ est asymptotiquement l'espérance de la longueur du plus grand cycle d'une permutation de ${𝒮}_n$ uniformément distribuée.

En théorie des nombres, la constante de Golomb–Dickman apparaît dans la taille moyenne des plus grands diviseurs premiers d'un entier. Plus précisément,

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=2}^n\frac{\ln (P_1(k))}{\ln (k)},$

où $P_1(k)$ est le plus grand facteur premier de Modèle:Mvar, ce qui signifie que le nombre de chiffres en base Modèle:Mvar de $P_1(n)$ converge en moyenne de Cesàro vers $\lambda$. Donc si Modèle:Mvar est un entier à Modèle:Mvar chiffres dans une base donnée, alors $\lambda d$ est en moyenne le nombre de chiffres dans cette base du plus grand facteur premier de Modèle:Mvar.

La constante de Golomb–Dickman apparaît aussi dans le problème arithmétique suivant : quelle est la probabilité que le deuxième facteur premier de Modèle:Mvar soit plus petit que la racine du premier ? Asymptotiquement, cette probabilité vaut $\lambda$ :

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{Prob}\{P_2(n)⩽\sqrt{P_1(n)}\}$

où $P_2(n)$ est le deuxième plus grand facteur premier de Modèle:Mvar.

Enfin, la constante apparaît lorsque l'on s'intéresse à la longueur moyenne du plus grand cycle de toute fonction d'un ensemble fini dans lui-même. Si Modèle:Mvar est un ensemble fini, on applique successivement la fonction Modèle:Mvar : Modèle:Mvar → Modèle:Mvar à n'importe quel élément Modèle:Mvar de cet ensemble, cela forme un cycle, montrant que pour un certain Modèle:Mvar $f^{n+k}(x)=f^n(x)$ pour Modèle:Mvar assez grand; le plus petit Modèle:Mvar respectant cette propriété est la longueur du cycle. Soit Modèle:Mvar_Modèle:Mvar la moyenne prise sur l'ensemble des fonctions d'un ensemble de taille Modèle:Mvar dans lui-même, de la taille du plus grand cycle. Purdom et Williams ont montré que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\lambda .$

Formules

Il existe plusieurs expressions de $\lambda$. En particulier :

$\lambda =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{\mathrm{L}\mathrm{i}(t)}dt$

où $\mathrm{L}\mathrm{i}(t)$ est la fonction logarithme intégral,

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t-E_1(t)}dt$

où $E_1(t)$ est la fonction exponentielle intégrale, et

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{t+2}dt$

et

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{(t+1{)}^2}dt$

où $\rho (t)$ est la fonction de Dickman.

Articles connexes

• Permutations aléatoires
• Combinatoire analytique

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:OEIS, décimale de la constante de Golomb-Dickman
• Modèle:Ouvrage