Fonction de Dickman

Le graphe de la fonction de Dickman–de Bruijn ρ sur une échelle logarithmique. L'axe horizontal est l'argument u, et l'axe vertical est la valeur ρ(u) de la fonction ρ.

En théorie analytique des nombres, la fonction ρ de Dickman ou de Dickman-de Bruijn est une fonction spéciale utilisée dans l'estimation de la proportion d'entiers friables jusqu'à une certaine borne.

Elle fut étudiée pour la première fois par l'actuaire Karl Dickman, qui la définit dans son unique publication mathématique. Elle est étudiée plus tard par le mathématicien néerlandais Nicolaas Govert de BruijnModèle:,.

Définition

La fonction de Dickman-de Bruijn Modèle:Mvar est l'unique fonction continue, définie sur R₊*, qui est dérivable sur Modèle:Math et satisfait l'équation différentielle à retard

$(\ast )u{\rho }^{\prime }(u)+\rho (u-1)=0$

pour tout Modèle:Math, ainsi que la condition initiale Modèle:Math pour Modèle:Math.

Propriétés

Dickman a montré que pour tout u≥1 fixé, on a lorsque x tend vers l'infini

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/u})\sim x\rho (u)$

où Ψ(x,y) est le nombre d'entiers y-friables inférieurs à x. La version Modèle:Refnec Modèle:Quand est due à Hildebrand et stipule que pour tout Modèle:Math fixé,

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/u})=x\rho (u)\{1+O_{\epsilon }\left(\frac{u\log (u+1)}{\log x}\right)\}$

lorsque Modèle:Math, où Modèle:Précision nécessaire.

Applications

La principale utilité de la fonction de Dickman-de Bruijn est l'estimation de la proportion d'entiers qui sont friables et d'une taille donnée. Cela intervient dans l'optimisation de certaines preuves et constructions en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie algorithmique des nombres.

On peut montrer par exemple que

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/u})=x{u}^{-u+o(u)}$

lorsque u tend vers l'infini et Modèle:Math. Cela est lié à l'approximation Modèle:Math détaillée ci-dessous, et a une grande utilité dans le théorème d'Erdös-Rankin sur les grands écarts entre nombres premiers.

La constante de Golomb–Dickman peut être définie en termes de la fonction de Dickman–de Bruijn.

Estimation

En première approximation, on a Modèle:Math. Une estimation plus précise est

$\rho (u)\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi u}\log u}\exp (-u\xi +\mathrm{Ei}(\xi ))$

lorsque Modèle:Mvar tend vers l'infini, où Modèle:Math est l'exponentielle intégrale et Modèle:Mvar est l'unique solution réelle positive de l'équation

${\mathrm{e}}^{\xi }-1=u\xi$.

Une majoration simple est Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction Gamma d'Euler.

$u$	$\rho (u)$
1	1
2	3,069Modèle:X10
3	4,861Modèle:X10
4	4,911Modèle:X10
5	3,547Modèle:X10
6	1,965Modèle:X10
7	8,746Modèle:X10
8	3,232Modèle:X10
9	1,016Modèle:X10
10	2,770Modèle:X10

Calcul numérique

Pour chaque intervalle du type Modèle:Math, où n est un entier strictement positif, il existe une fonction analytique ρ_n telle que Modèle:Math lorsque Modèle:Math. Ces fonctions peuvent être déterminées par récurrence à partir de l'équation (*). Ainsi, Modèle:Math, Modèle:Math, et

${\rho }_3(u)=1-(1-\log (u-1))\log (u)+{\mathrm{Li}}_2(1-u)+\frac{{\pi }^2}{12}$

où Li₂ est le dilogarithme. Les fonctions ρ_n peuvent également être exprimées sous forme d'une série entière dont les coefficients sont explicites.

Généralisation

Friedlander définit un analogue Modèle:Math de Modèle:Math, qui est également définie comme la solution d'un système d'équations différentielles aux différences. Cette fonction est utile dans l'estimation du nombre Modèle:Math des entiers inférieurs à x, dont tous les facteurs premiers sont compris dans l'intervalle ]z, y] (avec z<y). On a en effet, lorsque u et v sont fixés avec Modèle:Math, et lorsque x tend vers l'infini,

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/u},x^{1/v})\sim x\sigma (u,v).$

Liens externes

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