Constante de Komornik-Loreti

Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base $q$ pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son $q$-développement. La constante porte le nom des mathématiciens Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998.

Définition

Étant donné un nombre réel $q$ > 1, la série

$x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{q}^{-n}$

est appelée une $q$-expansion, ou $\beta$-expansion, du nombre réel positif Modèle:Mvar si, pour tout $n⩾0$, $0⩽a_n⩽\lfloor q\rfloor$, où$\lfloor q\rfloor$ est la partie entière de $q$ et $a_n$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel $x$ tel que $0⩽x⩽q\lfloor q\rfloor /(q-1)$ possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où $x=1$, $a_0=0$, et $a_n=0$ ou $a_n=1$ pour $n⩾1$, est parfois appelé un $q$-développement de 1. Dans le cas où $a_n=1$ pour $n⩾1$, la seule valeur possible de $q$ est $q$ = 2. Cependant, pour presque tout $1<q<2$, il existe un nombre infini de $q$-développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des $q\in [1,2]$ pour lesquels il n'existe qu'un seul $q$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre $1<q<2$, connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti, pour lequel il existe un unique $q$-développement de 1.

Valeur

La constante de Komornik-Loreti est la quantité $q$ telle que

$1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t_k}{q^k}$

où $t_k$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que $t_k$ est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de $k$ . Elle a pour valeur

$q=1,787231650\dots$

La suite de ses décimales est donnée par la Modèle:OEIS.

La constante $q$ est aussi la seule racine réelle positive de

$\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{q^{2^k}})={(1-\frac{1}{q})}^{-1}-2.$

Cette constante est un nombre transcendant.

Voir également

• Constante d'Euler-Mascheroni
• Mot de Fibonacci
• Suite de Rudin-Shapiro
• Constante de Prouhet-Thue-Morse