Courbe quintique

En mathématiques une courbe quintique est une courbe algébrique plane de degré 5. Elle peut être définie par un polynôme de la forme :

$A{x}^5+B{y}^5+C{x}^{4}y+Dx{y}^4+E{x}^3{y}^2+F{x}^2{y}^3+G{x}^4+H{y}^4+I{x}^{3}y+Jx{y}^3+K{x}^2{y}^2+L{x}^3+M{y}^3+N{x}^{2}y+Ox{y}^2+P{x}^2+Q{y}^2+Rxy+Sx+Ty+U=0$

dont les coefficients sont dans un corps commutatif donné. L'équation a 21 coefficients, mais la courbe ne change pas si on les multiplie tous par une constante non nulle. On peut donc fixer Modèle:Mvar à Modèle:Math et se contenter de 20 coefficients. Il y a donc une infinité de quintiques, et chacune d'elles est identifiée par son passage par 20 points génériques.

Une courbe quintique à 28 bitangentes

Caractéristiques

Une courbe quintique (n = 5) définie sur le corps des réels et irréductible peut avoir au maximum :

• (n – 1)(n – 2)/2 + 1 = 7 composantes connexes, d'après le théorème de Harnack.

Par ailleurs, les formules de Plücker montrent qu'elle peut avoir au plus :

• (n – 1)(n – 2)/2 = 6 points doubles ;
• n(n – 2)(n – 3)(n + 3)/2 = 120 bitangentes, c'est-à-dire de droites qui sont des tangentes à la courbe en 2 points ;
• 3n(n – 2) = 45 points d'inflexion.

Applications

Les courbes quintiques apparaissent dans l'étude des problèmes de courbes à réaction constante : quelle doit-être la forme de la courbe suivie par un point dans un champ de gravitation de sorte que la réaction du point sur la courbe soit constante ?

Exemples de courbes quintiques définies sur le corps des réels

• Courbe de Burnside

  $x^5-y^2-x=0$

• Courbe kératoïde

  $x^5+x^{2}y-y^2=0$

• Modèle:Lien

  $y^2(y-1)(y-2)(y+5)-(x^2-1{)}^2=0$

• Courbe en quilles

  $25x^5+45y^5+68x^4-155y^4-12x^3+175y^3-35x^2-65y^2+x+4=0$

• Courbe de l'Hospital

  $(x^2+y^2{)}^2(y-2)+y(4x^4+x^2+y^2)=0$

• Courbe de Mutasci

  $x^4(x-1)+y^4(y-1)-xy=0$

• Courbe sinusoïdale

  $x^5+y^5-x=0$

• Maracas de Chioppa

  $4y^5+24x^{4}y+35x^2{y}^3-21x^4-45x^2{y}^2-40y^3-46x^{2}y-13y^2+57y+36=0$

• Butterfly Catastrophe

  $36864y^5+84375x^4-24576a^2{y}^4+144000a{x}^2{y}^2+4096a^4{y}^3-86400a^3{x}^{2}y+13824a^5{x}^2=0$

• Courbe à bulbe

  $y^5+5(x^4-y^4-1)=0$

• Feuille de Patarino

  $x^2(13y^3-5x^2+33y^2+36y+14)+y(2x^4+5y^4+15y^3+12y^2-10y-16)-5=0$

• Courbe en tulipe

  $x^2(9x^2-8y^3+4y^2+8)+y(9x^4+3y^4-7y^3+4y^2+5y-8)-5=0$

• Courbe en gouttes

  $5y^5-x^4-2y^3+2x^2-1=0$

• Courbe à point triple

  $x^5+y^5+xy(x-y)=0$

• Impulsion unique

  $y^5+100x^{4}y+20x^2{y}^3-100x+10y-1000=0$

• Double impulsion

  $y^5+100x^{4}y+20x^2{y}^3+100x=0$

• Courbe à trois nœuds coulants

  $(x^2-y^2)(y^2-1)(2y-3)-y(x^2+y^2-2y{)}^2=0$

• Courbe avec deux points de rebroussement et deux croisements

  $x^2(x^2-2)+2y^2(y^3+y^2-1)+2x^{2}y(x^2-y^2-1)+1=0$

• Courbe à 36 bitangentes

  $20y(x^2+y^2-1)(5x^2+y^2-2)+1=0$

• Courbe avec 10 inflexions

  $x(x{y}^3-14xy+1)+y(y^4+10x^4-6y^2+4)=0$

• Courbe à six composantes connexes

  $(7y^3-6x^{2}y-8x^2+7y^2+4)(10x^2+6y^2+4y-9)-1=0$

• Courbe à six croisements

  $4x^2(3x^3+2x^2-13x+8)-36y^2(y^3-2y^2-4y+8)+3x^2{y}^2(11x-10y+39)-2xy(2x^3-18y^3+29x^2+57y^2+59x+3y-90)=0$

Illustrations

• 
  Courbe de Burnside
• 
  Courbe kératoïde
• 
  Modèle:Lien
• 
  Courbe en quilles
• 
  Courbe de l'Hospital
• 
  Courbe de Mutasci
• 
  Courbe sinusoïdale
• 
  Maracas de Chioppa
• 
  Butterfly Catastrophe
• 
  Courbe à bulbe
• 
  Feuille de Patarino
• 
  Courbe en tulipe
• 
  Courbe en gouttes
• 
  Courbe à point triple
• 
  Impulsion unique
• 
  Double impulsion
• 
  Courbe avec deux points de rebroussement et deux croisements
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  Courbe à 36 bitangentes
• 
  Courbe avec 10 inflexions
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  Courbe à six composantes connexes
• 
  Courbe à six croisements

Voir aussi

Articles connexes

• Équation quintique
• Courbe quartique
• Courbe algébrique réelle plane

Liens externes

• Modèle:Lien web (site de courbes et surfaces maintenu par Robert Ferreol)
• Modèle:MathWorld (brève définition des courbes quintiques)
• Modèle:Lien web (exécutable pour tracer des courbes quintiques)