Cône (topologie)

Cône d'un cercle. L'espace original est en bleu, et l'extrémité réduite à un point est en vert.

En topologie, et en particulier en topologie algébrique, le cône Modèle:Math d'un espace topologique Modèle:Math est l'espace quotient :

$\mathrm{C}X=(X\times I)/(X\times \{0\})$

du produit de Modèle:Math par l'intervalle unité Modèle:Math.

Intuitivement, on forme un cylindre de base Modèle:Math et on réduit une extrémité du cylindre à un point.

Exemples

• Le cône construit sur un point Modèle:Math de la droite réelle est le segment Modèle:Math.
• Le cône construit sur deux points {0,1} est un "V" avec les extrémités en 0 et 1.
• Le cône construit sur un intervalle I de la droite réelle est un triangle plein, aussi appelé 2-simplexe (voir l'exemple final).
• Le cône construit sur un polygone P est une pyramide de base P.
• Le cône construit sur un disque est le cône solide de la géométrie classique (d'où le nom de ce concept).
• Le cône construit sur un cercle est la surface du cône précédent :$\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2=z^2\text{ et }0\le z\le 1\}.$Ce dernier est homéomorphe au disque fermé.
• Plus généralement le cône construit sur une n-sphère est homéomorphe à la (n+1)-boule fermée.
• Le cône construit sur un n-simplexe est un (n+1)-simplexe.

Propriétés

Le cône d'un espace non vide est contractile (en particulier connexe par arcs et simplement connexe), puisqu'il se rétracte par déformation sur son sommet par l'homotopie h_t(x,s) = (x, (1–t)s).

Le cône est utilisé en topologie algébrique précisément parce qu'il transforme un espace en un sous-espace d'un espace contractile : Modèle:Math.

Lorsque Modèle:Math est compact, le cône Modèle:Math peut être visualisé comme la réunion des segments joignant tout point de Modèle:Math à un point unique. Cependant, cette image ne fonctionne plus si Modèle:Math n'est pas quasi-compact ou pas séparé, car généralement la topologie quotient sur Modèle:Math est plus fine que la topologie de la réunion des segments joignant Modèle:Math à un point.

Si Modèle:Math est un CW-complexe, alors Modèle:Math aussi. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs cônes aussi.

Lien avec le cône d'une application

Si Modèle:Math est une fonction continue, on définit le [[Cône d'une application|cône Modèle:Math de l'application Modèle:Math]] comme le quotient de la réunion disjointe Modèle:Math par l'identification de chaque élément Modèle:Math de Modèle:Math avec son image Modèle:Math dans Modèle:Math. L'inclusion de Modèle:Math dans Modèle:Math est alors une cofibration.

Le cône de l'application identité de Modèle:Math est Modèle:Math. Celui de l'écrasement de Modèle:Math sur un point est la suspension Modèle:Math de Modèle:Math.

Cône réduit

Si Modèle:Math est un espace pointé, son cône réduit est

${\mathrm{C}}_{*}(X,x_0)=X\times [0,1]/[(X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_0\right\}\times [0,1])],$

muni de la topologie quotient et pointé par l'image, dans ce quotient, du couple Modèle:Math. L'inclusion naturelle de l'espace pointé dans son cône respecte ce pointage.

De même que le cône d'un espace non pointé est le cône de son application identité, le cône réduit d'un espace pointé est le cône réduit de son application identité.

Foncteur Cône

L'application Modèle:Math induit un foncteur Modèle:Math sur la catégorie des espaces topologiques. L'application continue Modèle:Math de Modèle:Math vers Modèle:Math associée à une application continue Modèle:Math est définie par : Modèle:Math. On a de même un foncteur Modèle:Math sur la catégorie des espaces pointés.

Articles connexes

• Joint (mathématiques)
• Cylindre (topologie)