Décomposition de Frobenius

On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme Modèle:Math de cet espace. Une décomposition de Frobenius est une décomposition de E en somme directe de sous-espaces dits cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de Modèle:Math aux facteurs sont les facteurs invariants de Modèle:Math. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque : on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.

Polynôme conducteur

Soit Modèle:Math un vecteur de E, l'ensemble

$I_x=\{P\in K[X]\mid P(u)(x)=0\}$

est un idéal de K[X] non réduit à 0 (d'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique est un polynôme non nul appartenant à cet idéal) ; il est donc engendré par un unique polynôme unitaire

${\pi }_{u,x}$

appelé polynôme conducteur de Modèle:Math en Modèle:Math, ou parfois polynôme minimal local de Modèle:Math en Modèle:Math.

Sous-espace cyclique

Soit Modèle:Math un vecteur de E, l'ensemble

$S_x=\{P(u)(x)\mid P\in K[X]\}$

est un sous-espace vectoriel de E stable par Modèle:Math appelé sous-espace Modèle:Math-cyclique engendré par Modèle:Math, ou encore clôture Modèle:Math-stable de Modèle:Math.

Soit $P\in K[X]$, on a $P\in I_x$ si et seulement si $\mathrm{\forall }y\in S_x,P(u)(y)=0$. Ainsi le polynôme conducteur ${\pi }_{u,x}$ est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par Modèle:Math sur le sous-espace Modèle:Math.

La dimension de Modèle:Math est égale au degré du polynôme ${\pi }_{u,x}$.

Vecteurs Modèle:Math-maximums

Pour tout vecteur Modèle:Math de E, le polynôme conducteur ${\pi }_{u,x}$ divise le polynôme minimal ${\pi }_u$ de Modèle:Math. On dira que Modèle:Math est Modèle:Math-maximum lorsque ${\pi }_{u,x}={\pi }_u$. La décomposition de Frobenius s'appuie sur les deux résultats suivants (démontrés sur Wikiversité) :

• tout endomorphisme Modèle:Math admet un vecteur Modèle:Math-maximum ;
• pour tout vecteur Modèle:Math-maximum Modèle:Math, Modèle:Math admet un supplémentaire stable par Modèle:Math.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la décomposition de Frobenius.

Décomposition de Frobenius

Il existe une suite de vecteurs $x_1,x_2,\dots ,x_p$ de E telle que

• $E=S_{x_1}\oplus S_{x_2}\oplus \dots \oplus S_{x_p}$
• ${\pi }_{u,x_p}\mid \dots \mid {\pi }_{u,x_2}\mid {\pi }_{u,x_1}$

Les polynômes ${\pi }_{u,x_i}$ ne dépendent pas du choix des vecteurs $x_i$, ce sont les facteurs invariants de Modèle:Math. Le polynôme minimal est ${\pi }_u={\pi }_{u,x_1}$ et le polynôme caractéristique est ${\chi }_u={\pi }_{u,x_1}{\pi }_{u,x_2}\dots {\pi }_{u,x_p}$.

Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s'ils ont les mêmes facteurs invariants.

Alternativement, on peut voir le théorème de décomposition de Frobenius comme un corollaire immédiat du théorème des facteurs invariants en effectuant la correspondance entre le $𝕂$-espace-vectoriel $E$ et le $𝕂[X]$-module $(E,u)$ muni du produit externe défini par $P{\cdot }_{u}x=P(u)(x)$. Toutefois, le théorème des facteurs invariants est bien plus difficile à démontrer en toute généralité que la preuve décrite ici, qui utilise des techniques d'algèbre linéaire.

Les endomorphismes induits par Modèle:Math sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

Endomorphisme cyclique

On dit que Modèle:Math est un endomorphisme cyclique s'il existe un élément Modèle:Math de E tel que Modèle:Math = E.

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme Modèle:Math de E est cyclique si et seulement si :

• le degré du polynôme minimal de Modèle:Math est égal à la dimension de E ;
• le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de Modèle:Math sont égaux (au signe près) ;
• un endomorphisme commute avec Modèle:Math (si et) seulement si c'est un polynôme en Modèle:Math ;
• il existe une base de E dans laquelle la matrice de Modèle:Math est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de Modèle:Math.

Applications

• La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.
• Elle fournit un système complet d'invariants de similitude d'une matrice carrée, ce qui permet de démontrer élégamment que :
  • toute matrice carrée est semblable à sa transposée (on le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit) ;
  • si deux matrices carrées à coefficients dans un corps K sont semblables via une matrice inversible à coefficients dans une extension de K, alors elle le sont aussi via une matrice inversible à coefficients dans K.

Référence

J. Fresnel, Algèbre des matrices, Hermann, 1997, § A 4.1, p. 139-141