Déterminant de Fredholm

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales. Elle a ensuite été généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux Modèle:Lien .

Soit $I=[a;b]$ un segment de $ℝ$. Dans la suite, $ℬ$ désigne l'espace $C(I)$ des fonctions continues sur $I$ ou l'espace $L^p(I)$ des fonctions p-intégrables sur $I$.

Soit $k:[a;b]\times [a;b]\to ℂ$ une fonction continue. On considère $K:ℬ\to ℬ$ l'opérateur de noyau $k$ :

$$\mathrm{\forall }x\in ℬ,\mathrm{\forall }t\in [a;b],Kx(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(t,s)x(s)ds$$

Heuristique

On se place sur $[0;1]$ et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue $\varphi$ $$\varphi (x)+\underset{0}{\overset{1}{\int }}K(x,t)\varphi (t)dt=f(x)(*).$$

On peut essayer de discrétiser cette équation :

• en l'évaluant sur une famille de points $(x_l{)}_{0\le l\le n-1}$ équirépartis dans l'intervalle $[0;1]$ : $x_k=\frac{k}{n},1\le l\le n-1$.
• en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}k(x_i,t)\varphi (t)dt\approx \sum _{j=0}^{n-1}\frac{1}{n}k(x_i,x_j)\varphi (x_j)$.

On obtient alors, pour chaque $n\in \mathbb{N}$, un système linéaire $(E_n)$ d'équations $$(E_n):\{\begin{array}{c}\varphi (x_1)+\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_1,x_j)\varphi (x_j)=f(x_1)\\ \dots & \\ \varphi (x_i)+\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_i,x_j)\varphi (x_j)=f(x_i)\\ \dots & \\ \varphi (x_n)+\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_n,x_j)\varphi (x_j)=f(x_n)\end{array}$$

où les inconnues sont les $(\varphi (x_l){)}_{0\le l\le n-1}$. Heuristiquement on peut espérer comprendre $(*)$ en analysant le comportement de $(E_n)$ dans la limite $n\to +\mathrm{\infty }$.

Or on montre que le déterminant $d_n$ du système linéaire homogène associé à $(E_n)$ vaut :

$$\begin{array}{cc}{d}_n& =\left|\begin{array}{cccc}1+\frac{1}{n}k(x_1,x_1)& \frac{1}{n}k(x_1,x_2)& \dots & \frac{1}{n}k(x_1,x_n)\\ \frac{1}{n}k(x_2,x_1)& 1+\frac{1}{n}k(x_2,x_2)& \dots & \frac{1}{n}k(x_i,x_n)\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{1}{n}k(x_n,x_1)& \dots & \dots & 1+\frac{1}{n}k(x_n,x_n)\end{array}\right|\\ & =1+\frac{1}{n}{S}_1+\frac{1}{n^2}{S}_2+\dots +\frac{1}{n^n}{S}_n\end{array}$$

où $S_m$ est la somme des mineurs principaux d'ordre $m$ de $d_n$. Comme de plus

$$\frac{1}{n^m}{S}_m\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{1}{m!}\underset{[0;1{]}^m}{\overset{}{\int }}\left|\begin{array}{ccc}k(x_1,x_1)& \dots & k(x_1,x_m)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k(x_m,x_1)& \dots & k(x_m,x_m)\end{array}\right|\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_m$$

on est donc amené à considérer la série "limite des $d_n$ " : $$D:=1+\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\underset{[0;1{]}^k}{\int }\left|\begin{array}{ccc}k(x_1,x_1)& \dots & k(x_1,x_m)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k(x_m,x_1)& \dots & k(x_m,x_m)\end{array}\right|\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_m$$

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur $I+K$. Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit.

Déterminant de Fredholm

La série entière $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\underset{I^n}{\int }\det \left(\begin{array}{ccc}k(x_1,x_1)& \dots & k(x_1,x_n)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k(x_n,x_1)& \dots & k(x_n,x_n)\end{array}\right)d{x}_1...d{x}_n$ a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant Modèle:Lien pour majorer le déterminant.

Pour tout $z\in ℂ$, on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur $I+zK$ la quantité $$\det (I+zK):=1+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\underset{I^n}{\int }\det \left(\begin{array}{ccc}k(x_1,x_1)& \dots & k(x_1,x_n)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k(x_n,x_1)& \dots & k(x_n,x_n)\end{array}\right)d{x}_1...d{x}_n$$La fonction $z\mapsto \det (I+zK)$ est alors analytique sur $ℂ$. En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Cas des opérateurs de rang fini

Dans cette section, on suppose que $K$est de rang fini.

Lien avec les valeurs propres

Soient ${\lambda }_1(K),\dots ,{\lambda }_n(K)$ les valeurs propres de $K$ comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit :

$$\det (1+K)=\prod _{i=1}^n(1+{\lambda }_i(K)).$$

Lien avec la trace

Comme $K$ et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit $z\in ℂ$. Pour $|z|$ assez petit, on a :

$$\det (1+zK)=\exp (\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}tr(K^n)z^n)$$

Déterminant et inversibilité

Modèle:ThéorèmeRemarques :

• La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;

• Pour tout $z_0\in ℂ$, l'indice de l'opérateur $I+z_{0}K$ est donc nul.