Différentielle de Kähler

En mathématiques, les différentielles de Kähler fournissent un analogue des formes différentielles aux anneaux et schémas commutatifs arbitraires. La notion a été introduite par Erich Kähler dans les années 1930. Elle fut ensuite adopté en algèbre commutative et en géométrie algébrique, une fois qu'il fallut d'adapter les méthodes du calcul différentiel et de la géométrie complexe aux contextes où de telles méthodes n'existaient pas.

Définition

Soient Modèle:Formule et Modèle:Formule des anneaux commutatifs et Modèle:Formule un morphisme en anneau. Un cas fréquent est Modèle:Formule un corps et Modèle:Formule une algèbre sur Modèle:Formule (comme l'anneau de coordonnées d'une variété affine). Les différentielles de Kähler formalisent le fait que les dérivées de polynômes sont à nouveau des polynômiales. En ce sens, la différenciation est une notion qui peut s’exprimer en termes purement algébriques. On peut définir ces différentielles de manières différentes mais équivalentes.

${\mathrm{\Omega }}_{S/R}=I/I^2,$

À l'aide de dérivation

Une dérivation Modèle:Formule-linéaire sur Modèle:Formule est un morphisme de Modèle:Formule-modules $d:S\to M$ satisfaisant la règle de Leibniz $d(fg)=fdg+gdf$ (il résulte de cette définition que l'image de Modèle:Formule est dans le noyau de Modèle:Formule). Le module des différentielles de Kähler de $S$ relativement à Modèle:Formule est le Modèle:Formule-module ${\mathrm{\Omega }}_{S/R}$ pour lequel il existe une dérivation universelle $d:S\to {\mathrm{\Omega }}_{S/R}$ et satisfait la propriété universelle suivante : pour tout Modèle:Formule-module Modèle:Formule, on a un isomorphisme de Modèle:Formule-modules

${\mathrm{Hom}}_S({\mathrm{\Omega }}_{S/R},M)\stackrel{\cong }{\to }{\mathrm{Der}}_R(S,M).$

On décrit Modèle:Formule et Modèle:Formule en prenant un Modèle:Formule-module libre généré par les symboles Modèle:Formule pour chaque Modèle:Formule dans Modèle:Formule, et en imposant les relations

• Modèle:Formule,
• Modèle:Formule,
• Modèle:Formule,

pour tout Modèle:Formule dans Modèle:Formule et tous Modèle:Formule et Modèle:Formule dans Modèle:Formule. La dérivation universelle envoie Modèle:Formule sur Modèle:Formule. Les relations impliquent que la dérivation universelle est un morphisme de Modèle:Formule-modules.

À l'aide de l’idéal d’augmentation

On peut voir les différentielles de Kähler différemment. Soit Modèle:Formule l'idéal du produit tensoriel $S{\otimes }_{R}S$ défini comme le noyau du morphisme

$\{\begin{array}{c}S{\otimes }_{R}S\to S\\ \sum s_i\otimes t_i\mapsto \sum s_i\cdot t_i\end{array}$

Alors le module des différentielles de Kähler peut être défini de manière équivalente par

et la dérivation universelle est le morphisme Modèle:Formule défini par

$ds=1\otimes s-s\otimes 1.$

Cette construction est équivalente à la précédente car Modèle:Formule s'identifie au noyau de la projection

$\{\begin{array}{c}S{\otimes }_{R}S\to S{\otimes }_{R}R\\ \sum s_i\otimes t_i\mapsto \sum s_i\cdot t_i\otimes 1\end{array}$

Ainsi :

$S{\otimes }_{R}S\equiv I\oplus S{\otimes }_{R}R.$

Et $S{\otimes }_{R}S/S{\otimes }_{R}R$ peut être identifié à Modèle:Formule par l'application induite

$\sum s_i\otimes t_i\mapsto \sum s_i\otimes t_i-\sum s_i\cdot t_i\otimes 1.$

Ceci identifie Modèle:Formule avec le Modèle:Formule-module généré par les générateurs formels Modèle:Formule pour Modèle:Formule dans Modèle:Formule, à condition que Modèle:Formule soit un morphisme de Modèle:Formule-modules qui est nul sur Modèle:Formule. Prendre le quotient par Modèle:Formule impose la règle de Leibniz.

Propriétés et exemples

Pour tout anneau commutatif Modèle:Formule, le module des différentielles de Kähler de l'anneau polynomial $S=R[t_1,\dots ,t_n]$ est un Modèle:Formule -module libre de rang n généré par les différentielles des variables :

${\mathrm{\Omega }}_{R[t_1,\dots ,t_n]/R}^1=\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}R[t_1,\dots t_n]d{t}_i.$

Les différentielles de Kähler sont compatibles à l'extension des scalaires, dans le sens où pour une Modèle:Formule-algèbre Modèle:Formule et $S^{\prime }=R^{\prime }{\otimes }_{R}S$, il existe un isomorphisme

${\mathrm{\Omega }}_{S/R}{\otimes }_S{S}^{\prime }\cong {\mathrm{\Omega }}_{S^{\prime }/R^{\prime }}.$

Par conséquent, les différentielles de Kähler sont compatibles à la localisation : si Modèle:Formule est un ensemble multiplicatif de Modèle:Formule, alors il existe un isomorphisme

$W^{-1}{\mathrm{\Omega }}_{S/R}\cong {\mathrm{\Omega }}_{W^{-1}S/R}.$

Étant donné deux homomorphismes d'anneaux $R\to S\to T$, il existe une suite exacte courte de Modèle:Formule-modules

${\mathrm{\Omega }}_{S/R}{\otimes }_{S}T\to {\mathrm{\Omega }}_{T/R}\to {\mathrm{\Omega }}_{T/S}\to 0.$

Si $T=S/I$ avec Modèle:Formule un idéal, le terme ${\mathrm{\Omega }}_{T/S}$ s'annule et la suite peut être prolongée à gauche comme suit :

$I/I^2\stackrel{[f]\mapsto df\otimes 1}{\to }{\mathrm{\Omega }}_{S/R}{\otimes }_{S}T\to {\mathrm{\Omega }}_{T/R}\to 0.$

Une généralisation de ces suites exactes est fournie par le complexe cotangent.

Cette dernière suite et le calcul ci-dessus dans le cas d'un anneau polynomial permettent le calcul des différentielles de Kähler des Modèle:Formule-algèbres de type fini $T=R[t_1,\dots ,t_n]/(f_1,\dots ,f_m)$. Par exemple, pour un polynôme en un variable,

${\mathrm{\Omega }}_{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)dt.$

Différentielles de Kähler de schémas

Les différentielles de Kähler étant compatibles à la localisation, elles peuvent être construites sur un schéma affine via l'une ou l'autre des deux définitions ci-dessus, et sur un schéma par recollement. Cependant, la deuxième définition a une interprétation géométrique plus claire. Dans cette interprétation, Modèle:Formule représente l'idéal définissant la diagonale dans le produit fibré de Modèle:Formule avec lui-même sur Modèle:Formule. De plus, elle s’étend à un morphisme général des schémas $f:X\to Y$ en définissant $ℐ$ l'idéal diagonal dans le produit fibré $X{\times }_{Y}X$. Le faisceau cotangent ${\mathrm{\Omega }}_{X/Y}=ℐ/{ℐ}^2$, muni de la dérivation $d:{𝒪}_X\to {\mathrm{\Omega }}_{X/Y}$ défini de manière analogue, est vérifie la propriété universelle sur les $f^{-1}{𝒪}_Y$-dérivations linéaires de ${𝒪}_X$-modules. Si Modèle:Formule est un ouvert affine de Modèle:Formule dont l'image dans Modèle:Formule est contenue dans un ouvert affine Modèle:Formule, alors le faisceau cotangent se restreint à un faisceau sur Modèle:Formule qui est également universel. Il s'agit donc du faisceau associé au module de différentiels de Kähler pour les anneaux sous-jacents à Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Les suites exactes courtes se généralisent aux morphismes de schémas. Soient $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ deux morphismes de schémas, on a la suite exacte de faisceaux sur $X$

$f^{*}{\mathrm{\Omega }}_{Y/Z}\to {\mathrm{\Omega }}_{X/Z}\to {\mathrm{\Omega }}_{X/Y}\to 0$

Si $X\subset Y$ est un sous-schéma fermé donné par le faisceau d'idéaux $ℐ$, alors ${\mathrm{\Omega }}_{X/Y}=0$ et on a la suite exacte :

$ℐ/{ℐ}^2\to {\mathrm{\Omega }}_{Y/Z}{|}_X\to {\mathrm{\Omega }}_{X/Z}\to 0$

Le complexe de Rham – Witt est, en termes très grossiers, une amélioration du complexe de Rham pour l'anneau des vecteurs de Witt.

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Article (letter to Michael Atiyah, October 14, 1963)
• Modèle:Lien web
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Article