Espace métrique faible

Modèle:À sourcer En mathématiques, un espace métrique faible (ou espace hémi-métrique) généralise la notion d'espace métrique et même d'espace pseudo-métrique.

Définition

Une distance faible sur un ensemble $E$ est une fonction

$\mathrm{d}:E\times E\to {ℝ}_{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

1. $\mathrm{d}(x,x)=0$ ;
2. $\mathrm{d}(x,z)\le \mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,z)$ (inégalité triangulaire).

Un espace métrique faible est alors un couple $(E,\mathrm{d})$ formé d'un ensemble $E$ et d'une distance faible $\mathrm{d}$ sur $E$.

Exemples

C'est le cas des distances dans un réseau comportant des segments à sens unique, et généralement dans tout graphe orienté.

Cas particuliers

• Une distance faible symétrique est un écart.
• Une distance faible qui vérifie la propriété de séparation est une quasi-distance.
• Une distance faible qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une distance.

Propriétés topologiques

Une distance faible induit une topologie sur $E$. Une base d'ouverts de cette topologie est donnée par l'ensemble :

$\{B_r\left(x\right):x\in E,r>0\},$

où $B_r\left(x\right)=\{y\in E:\mathrm{d}(x,y)<r\}$ est la boule ouverte de rayon $r$ centrée en $x$. En particulier, tout point de $E$ admet une base dénombrable de voisinages.